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 exo en dérivation un peu dûr

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samih mesut ozil
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MessageSujet: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 20:21

soient a1,a2,a3.......an (n comme indice) des nombres réels
on pose p(x)=(x-a1)(x-a2)......(x-an)
et f(x)=1/(x-a1)+1/(x-a2)+.....+1/(x-an)

1)prouvez que le fonction f a la possibilté de dérivation sur Df.calculez f'(x).

2)montrez que f(x)=p'(x)/p(x) et que p(x).p''(x) inférieur à (p'(x))² pour tout x de Df
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yasserito
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MessageSujet: Re: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 21:01

Salut, on dit plutot f est dérivable (et non a la possibilite de derivation Wink )
Df=IR/{a1,...an}
f est derivable sur Df car elle est la somme de restrictions de fonctions rationnelles definies sur Df....
f'(x)=-(1/(x-a1)²+1/(x-a2)²+......+1/(x-an)²)

2) Soit g:Df-->IR
x-->ln(lp(x)l)
pour tout x de Df: g(x)=sum(k=1-->n)(lnlx-akl)
donc pour tout x de Df: g'(x)=sum(k=1-->n)(1/(x-ak))
ainsi pour tout x de Df: g'(x)=f(x)
et pour tout x de Df: g'(x)=p'(x)/p(x)
et le resultat est mtn clair
On a demontré que f'(x)<0 pour tout x £ Df
Donc f'(x)<0 pour tout x de Df
ainsi et pour tout x de Df: f'(x)=[p''(x)p(x)-(p'(x))²]/(p²(x))
Ainsi pour tout x de Df p(x).p''(x) inférieur à (p'(x))²
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Syba
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MessageSujet: Re: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 21:06

lim = limite quand x tend vers x0.
lim f(x)-f(x0)/x-x0
= lim [1/(x-ai)-1/(x0-ai)]/[x-x0]
= lim [((x0-ai)-(x-ai))/((x-ai)(x0-ai))]/[x-x0]
= lim (x0-x)/(x-x0)(x-ai)(x0-ai)
= lim -1/(x-ai)(x0-ai)
= -1/(x0-ai)^2
donc f dérivable quelque soit i de {1,2,3...,4} et: x différent de ai.

p'(x)=[(x-a2)(x-a3)..(x-an)]+[(x-a1)(x-a3)...(x-an)]+......+[x-a1)(x-a2)....(x-an-1)]
P'(x)/p(x)=1/(x-a1)+1/(x-a2)+.....+1/(x-an) = f(x)

p''(x)=f'(x)=-1/(x-a1)^2-1/(x-a2)^2+.........-1/(x-an)^2
p(x).p''(x)=-[(x-a2)(x-a3)...(x-an)/(x-a1)]-[(x-a1)(x-a3)(x-a4)....(x-an)/(x-a2)]+......-[(x-a1)(x-a2)...(x-an-1)/(x-an)] < [[(x-a2)(x-a3)..(x-an)]+[(x-a1)(x-a3)...(x-an)]+......+[x-a1)(x-a2)....(x-an-1)]]^2
Donc: p(x).p''(x)<P'(x)^2
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samih mesut ozil
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MessageSujet: Re: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 21:34

peux-tu expliquer un peu p'(x)/p(x)
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killua 001
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MessageSujet: Re: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 21:46

waylii asamiih rah bayna ... fekek lbasst w khtazel Wink
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samih mesut ozil
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MessageSujet: Re: exo en dérivation un peu dûr   Lun 05 Nov 2012, 21:52

ah oui c vrai .je sais pas qu'est ce qui se passe à moi hhh.thanks killua 001
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