Première étape olympiades de première 15-11-2013

Exercice 1 (AUS):

Exercice 2 (BMO):

Exercice 3 (BMO):
soient a,b et c les trois longueurs de côtés d'un triangle. Sachant que
déterminer la plus grande aire possible de ce triangle.
Exercice 4 (SAMC):
soit ABC un triangle. D et E deux points appartenant respectivement aux côtés [BC] et [AC] du triangle et tel que . Le cercle circonscrit au triangle ABD rencontre le segment [BE] au point F (distinct de B). La demi-droite [AF) coupe le segment [DE] au point P. Montrer que

Soit x1 = x2 donc 0 =1 impossible
Soit x1 > x2 donc x1 = x2 +1
D'apres le theoreme de Viete on a -p = x1 + x2 = 2.x2 + 1 et q = x1.x2 = x²2 +x2
donc lq-pl = lx²2 + 3x2 +1l = 1
Si x2 est un entier p et q et x1 sont automatiquement des entiers

- pour -3-v5<2.x2<-3+v5 on a x2 = 1 ou x2 = 2
- pour 2.x2 < -3-v5 ou -3+v5 < 2x2 on a x2 = 0 ou x2 = -3
Conclusion p et q et x1 et x2 sont des entiers relatifs

on s'assure ensuite que le triplet (1,2,3) est bel et bien une solution du système, donc S={(1,2,3)}

ah c'est le meme exercice de géométrie pour les 2éme années

Combien avez-vous trouver f le troisième exercice?

1/ j'ai trouvé 4 solutions de la forme (x_1,x_2,p,q), et dans tout les cas x_1,x_2,p,q sont des entiers relatifs
2/ x=1, y=2et z=3
3/ Formule de Héron + inégalité triangulaire j'ai trouvé 6rac(3) comme résultat

Nas8 a écrit:

Soit x1 = x2 donc 0 =1 impossible
Soit x1 > x2 donc x1 = x2 +1
D'apres le theoreme de Viete on a -p = x1 + x2 = 2.x2 + 1    et q = x1.x2 = x²2 +x2
donc lq-pl = lx²2 + 3x2 +1l = 1
Si x2 est un entier p et q et x1 sont automatiquement des entiers

- pour  -3-v5<2.x2<-3+v5 on a x2 =  1 ou x2 = 2
- pour        2.x2 < -3-v5 ou -3+v5 < 2x2 on a x2 = 0 ou x2 = -3
Conclusion p et q et x1 et x2 sont des entiers relatifs

pour faciliter les choses l'equation en rouge se résume en deux cas
cas1/ x²_1+3x_1+1=1 alors x_1=0 ou x_3=3
cas2/ x²_1+3x_1+1=-1 alors x_1=-1 ou x_3=-2
sachant que x_2=x_1+1 (par symétrie de rôle j'ai posé x1<x2) on trouve facilement x2 p et q

Zouhair-Evariste a écrit:

1/ j'ai trouvé 4 solutions de la forme (x_1,x_2,p,q), et dans tout les cas x_1,x_2,p,q sont des entiers relatifs
2/ x=1, y=2et z=3
3/ Formule de Héron + inégalité triangulaire j'ai trouvé  6rac(3) comme résultat

Faudrait t'assurer qu'il existe bel et bien un a<2 et un b<3 et un c<4 pour lequel A=6rac(3) ce qui est faux je crois.
pour moi, j'ai dit que l'aire est maximale lorseque a=2 et b=3 et c=4 et en utilisant la formule de Héron j'ai trouvé mais je suis pas sur de cette démarche

voici ma l'exercice le pour le 3 : on a<b+c donc a-b<c alors a-b+c<2c sachant que c<2 on a a-b+c<4
du meme maniére j'ai trouvé la valeur max de a+b-c et a-b+c et pour a+b+c il est facile de trouver que 9 est son max

Zouhair-Evariste a écrit:

voici ma l'exercice le pour le 3 :  on a<b+c  donc a-b<c  alors a-b+c<2c  sachant que c<2 on a a-b+c<4
du meme maniére j'ai trouvé la valeur max de a+b-c et a-b+c   et pour a+b+c il est facile de trouver que 9 est son max

ce passage est faux je crois et en plus l'aire du triangle ne peut en aucun cas etre supérieur à 3 et voila pourquoi :

La vraie réponse est en fait A=3 et c'est lee cas où a=2 et b=3 et c= rac(13)<4

legend-crush a écrit:

La vraie réponse est en fait A=3 et c'est lee cas où a=2 et b=3 et c= rac(13)<4

je crois que c'est correct

S'il vous, quel est le nombre minimal pour etre qualifié à l'examen suivant

legend-crush a écrit:

S'il vous, quel est le nombre minimal pour etre qualifié à l'examen suivant

tout les eleves qui ont participé au premier test sont invité a passé le 2eme

La semaine proochaine?

oui, le 22 Novembre !!

Et comment sais-tu que tout le monde passera le deuxième examen

oh !! pardon ce sont les élèves du bac qui ont ce système !
en ce qui concerne 1ere bac, prend la dernière page de ce document http://www.men.gov.ma/SiteCollectionDocuments/crp13491131009.pdf

Les olympiades de premiére année sont un peu différents des precedantes années , vous passez 2 examan pour etre qualifié au prochaine etape qui contient elle aussi 2 autres et se faire selectionné parmi les eleves pour les 2 derniérs .

en ce qui concerne le 3ème exercice, j'ai pris la plus grande mesure de chaque côté du triangle, ensuite j'ai appliqué le théorème d'Al Kashi pour obtenir l'angle formé entre deux côtés ( ex : b et c ), et après j'ai utilisé cette règle : Aire du triangle = (1/2).b.c.sin(l'angle compris entre ces deux côtés) et j'ai obtenus Aire maximale du triangle égale à à peu près 3 ! qu'en pensez-vous ?

Ma méthode pour le 3:

On pose h1 une hauteur du triangle, qui divise un angle du triangle en deux, notons alpha et beta.

L'on a S = h1 x c /2 = cos(alpha)xaxc/2.

Cos(alpha) <= 1. L'égalité se fait dans alpha = 90¤

de même on trouve deux autres valeurs pour S, et on choisit la plus grande.

On trouve Smax = 6.

Sketshup a écrit:

Ma méthode pour le 3:

On pose h1 une hauteur du triangle, qui divise un angle du triangle en deux, notons alpha et beta.

L'on a S = h1 x c /2 = cos(alpha)xaxc/2.

Cos(alpha) <= 1. L'égalité se fait dans alpha = 90¤

de même on trouve deux autres valeurs pour S, et on choisit la plus grande.

On trouve Smax = 6.

t'as dit que Smax=6, alors faut il trouver un triple (a;b;c) qui vérifie cette surface tout en respectant la condition !!!