(u_n) et (v_n) tendent vers 0

Bonjour. Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles telles que
u_n + v_n --->0 et (u_n)^3 - (v_n)^3 -->0.
Montrer que (u_n) et (v_n) tendent vers 0.

AA++

Bonjour,

Si u_n par exemple n'est pas bornée alors on peut extraire de u_n, u_f(n) -> +oo (par exemple).
Mézalor v_f(n) -> -oo et (u_n)^3 - (v_n)^3 -> 0 est impossible.

Donc u_n et v_n sont bornées toutes les deux.
Soit a une valeur d'adhérence de (u_n) : a = lim u_f(n).
Alors -a = lim v_f(n), a^3 + a^3 = 0 soit a = 0.

u_n est bornée et admet une seule v.a. = 0: elle est convergente vers cette seule v.a. Idem pour v_n