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 saisir les théorémes

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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyLun 10 Fév 2014, 23:21

M. L-W-P m'a conseillé de poster cet exercice ici: je l'avais posté par erreur dans un autre contexte.
saisir les théorémes - Page 2 Exerci15
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyMer 12 Fév 2014, 15:27

aymanemaysae a écrit:
M. L-W-P m'a conseillé de poster cet exercice ici: je l'avais posté par erreur dans un autre contexte.
saisir les théorémes - Page 2 Exerci15

voici ma solution
l'inégalité est homogène
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cette fois Je n'ai pas trouvé une bon méthode
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 12:48

Un Maître reste toujours un Maître. Votre solution est un cours riche d'astuces et d'un niveau technique élevé: je ne peux qu'en vous remercier.
La solution que je propose et que j'ai trouvée dans la même page que l'exercice en question,est certes succincte mais n'est pas très instructive:
saisir les théorémes - Page 2 Soluti10
Merci.
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Sketshup
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 18:56

Je ne comprends pas le passage où on a appliqué Caushy Shwartz
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 19:15

aymanemaysae a écrit:
Un Maître reste toujours un Maître. Votre solution est un cours riche d'astuces et d'un niveau technique élevé: je ne peux qu'en vous remercier.
La solution que je propose et que j'ai trouvée dans la même page que l'exercice en question,est certes succincte mais n'est pas très instructive:
saisir les théorémes - Page 2 Soluti10
Merci.
Merci bcp Mr aymanemaysae c une bonne solution

Sketshup a écrit:
Je ne comprends pas le passage où on a appliqué Caushy Shwartz
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il y a une autre généralisation de Holder
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prend n=2,k=1,a_1=a,a_2=b,b_1=a²+c² et b_2=b²+c² ...
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 20:12

Oh oui! Merci!!
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Nas8
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 20:37

Pose un nouveau exo , merci
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 21:16

MQ
Pour tout a,b et c £ (R*+)^3 saisir les théorémes - Page 2 Gif
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 21:32

Multiplier les 3 termes par le même dénominateur, produis en croix, simplifier.

On en vient à (SOMME Sym) a²b >= 6abc, qui est une application directe de AM-GM.

Peu élégante, mais cette méthode d'attaque m'a parut plus simple.


Mon post:

Je prends le droit de changer un peu des inégalités. Place à un peu d'arithmétique!

Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 22:08

En réponse à l'exercice de M. Lonely Guy, je propose la solution suivante: si elle est juste, je proposerai un exercice pour saisir un théorème que je vous laisse l'honneur de choisir:
saisir les théorémes - Page 2 A2a13
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legend-crush
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 22:41

Sketshup a écrit:

Mon post:
Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3
La seule solution est (0.0.0) ??! (descente infinie)
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyJeu 13 Fév 2014, 23:36

Lonely.Guy a écrit:
MQ
Pour tout a,b et c £ (R*+)^3 saisir les théorémes - Page 2 Gif

voici une autre solution :
selon Caushy saisir les théorémes - Page 2 Gif

on a saisir les théorémes - Page 2 Gif

alors saisir les théorémes - Page 2 Gif
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyVen 14 Fév 2014, 00:00

Sketshup a écrit:
Résoudre l'équations diophantienne suivante (échauffement nocturne):

a^3 + 2b^3 = 4c^3

si d=pgcd(a,b) alors d|c et le même résultat pour les autre

donc pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=pgcd(b,c)=pgcd(a,b,c)=d

pour d=0 on trouve S={(0,0,0)}

pour d=/=0 posons a=dx,b=dy et c=dz avec pgcd(x,y)=pgcd(x,z)=pgcd(y,z)=1

on a x^3+2y^3=4z^3 alors x^3=2(2z^3-y^3) donc 2|x^3 => 2|x (*) => il existe k / x=2k

alors 4k^3=2z^3-y^3 => y^3=2(z^3-2k^3)=>2|x^3 => 2|y (**)

après les deux relations on trouve que pgcd(x,y)=/=1 contradiction

alors (0,0,0) est la seul solution.
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyVen 14 Fév 2014, 10:17

Une autre solution qui utilise le principe de la descente infinie,est comme suit:

Cas n° 1: Soient a,b et c des entiers naturels non nuls.
a^3 + 2 b^3 = 4 c^3 induit que a = 2 A (A entier naturel tel que A < a),
donc 8 A^3 + 2 b^3 = 4 c^3, donc 4 A^3 + b^3 = 2 c^3 qui induit que b = 2 B (B entier naturel tel que B < b),
donc 4 A^3 + 8 B^3 = 2 c^3, donc 2 A^3 + 4 B^3 = c^3 qui induit aussi que c = 2 C (C entier naturel tel que C < c),
donc 2 A^3 + 4 B^3 = 8 C^3, donc A^3 + 2 B^3 = 4 C^3 : équation de la même forme que a^3 + 2 b^3 = 4 c^3
avec A < a, B < b et C < c, donc par le principe de la descente infinie, cette équation n'admet pas de solution
tel que (a;b;c) un triplet de IN* x IN* x IN* .

Cas n° 2: Soient a, b et c des entiers naturels dont au moins un est nul (abc = 0).
L'équation s'écrit donc sous l'une des formes suivantes: b^3 = 2 c^3 ou a^3 = 4 c^3 ou
a^3 + 2 b^3 = 0, ce qui donne toujours une solution triviale (a;b;c) = (0;0;0) .
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: saisir les théorémes   saisir les théorémes - Page 2 EmptyVen 14 Fév 2014, 12:04

Pour ne pas rester passif, voici un petit exercice qui est un cas particulier d'un cas plus général:
c'est un exercice que j'appelle "Le Colosse aux pieds d'argile" car il contient de grands
nombres, mais dont l'astuce pour le résoudre est simple.

Montrer que 10001^10001 + 10001^401 peut s'écrire sous la forme
de deux carrés parfaits.
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