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 Problème septembre 2014

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abdelbaki.attioui
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MessageSujet: Problème septembre 2014   Jeu 31 Juil 2014, 19:20

Soient z0, z1, . . . , zn n+1 nombres complexes tels que pour tout polynôme P de C[X] de degré inférieur ou égal à n−1 la propriété suivante soit vérifiée :

P(z0) =1/n . sum_{k=1}^{n}P(zk).

Montrer que z1, z2, . . . , zn sont les sommets d'un polygone régulier de centre z0.

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galillee56
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 10:06

on pose ai=zi-z0 pour tout i entre 1 et n on peut raisonner sur P(X)=Q(x-z0) donc pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 on a Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) on considere H(X)=produit(X-ai,i=1..n)=sum(bi*X^i,i=0...n) on note sp= sum_{k=1}^{n}ak^p pour tout p entre 0 et n-1 on sait que (somme de newton) bp=P(s1,s2,....,sp) on a que si=0 pour tout i entre 1,n-1 bp=0 pour tout p entre 1 et n-1 donc H(X)=X^n-bn donc les ai sont les racine n-ieme de bn d'ou le resultat
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nmo
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 12:06

galillee56 a écrit:
on pose ai=zi-z0 pour tout i entre 1 et n on peut raisonner sur P(X)=Q(x-z0) donc pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 on a Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) on considere H(X)=produit(X-ai,i=1..n)=sum(bi*X^i,i=0...n) on note sp= sum_{k=1}^{n}ak^p pour tout p entre 0 et n-1 on sait que (somme de newton) bp=P(s1,s2,....,sp) on a que si=0 pour tout i entre 1,n-1 bp=0 pour tout p entre 1 et n-1 donc H(X)=X^n-bn donc les ai sont les racine n-ieme de bn d'ou le resultat
Je ne vois pas comment tu as eu ce qui est en rouge.
Merci de détailler un peu.
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galillee56
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 12:16

ben on a que Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 donc si je prends Q(X)=X^p je trouve les sp
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nmo
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 12:30

galillee56 a écrit:
ben on a que  Q(0)=1/n. sum_{k=1}^{n}Q(ak) pour tout Q polynome de degre inferieur a n-1 donc si je prends Q(X)=X^p je trouve les sp
Oui, très bien vu.
Merci pour la réponse.


Dernière édition par nmo le Dim 14 Sep 2014, 13:03, édité 1 fois (Raison : Faute de calcul signalée par galillee56)
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galillee56
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 12:40

c'est faux car premierement H est de degre n et je ne vois pas pourquoi H(0)=0 ?
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nmo
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MessageSujet: Re: Problème septembre 2014   Dim 14 Sep 2014, 12:54

galillee56 a écrit:
c'est faux car premierement H est de degre n et je ne vois pas pourquoi H(0)=0 ?
Oui, je me suis précipité dans mes calculs (l'indice de la somme commence de 0 et non de 1).
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