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 Sur Un Exo de Connexité d' acab8 .....

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Oeil_de_Lynx
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Masculin Nombre de messages : 3112
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MessageSujet: Sur Un Exo de Connexité d' acab8 .....   Jeu 23 Oct 2014, 22:24

BSR à Toutes et Tous !!

Notre Ami Membre acab8 m' a proposé cet exercice :

acab8 a écrit:
Bonsoir
Voilà l'énoncé:
Dans R² on considère l’ensemble A des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle.
1. Soit α ∈ R \ Q ; d´ecrire l’ensemble A ∩ {(x, y) ∈ R| x = α}.
2. Montrer que A est connexe par arcs (plus précisément, montrer que deux points de A peuvent etre
reliés par une ligne polygonale)

Merci d'avance de votre aide précieuse !  


Si On note H=IR\Q l'ensemble des Irrationnels
Alors A=HxIR union IRxH
C'est donc ( comme tu l' as annoncé ) (IRxIR)\(QxQ)


Question1) : Si a est dans H alors A n {(x, y) dans IRxIR| x = a}={a}xIR
De la même manière si b est dans H alors A n {(x, y) dans RxIR| y = b}=IRx{b}

Question 2) : Soient (a,b) et (u,v) deux élements DISTINCTS de A
Alors on a Quatre Cas qui peuvent se produire :

1) a et u sont dans H
2) b et v sont dans H
3) a et v sont dans H
4) b et u sont dans H

En fait les Cas 1) et 2) sont analogues .
Et les Cas 3 et 4) sont symétriques , il suffit d'échanger les rôles de (a,b) et (u,v)

En conclusion , on traitera les cas 1) et 3)

Cas 1 : Il existe un irrationnel noté w
Différent à la fois de b et v .....

Soient f1, f2 et f3 les 3 applications suivantes :
f1 : t -----> f1(t)=(a,tw+(1-t)b) de [0;1] dans A
permet de joindre (a,b) à (a,w) en restant dans A.
f2 : t -----> f2(t)=(tu+(1-t)a,w) de [0;1] dans A
permet de joindre (a,w) à (u,w) en restant dans A.
f3 : t -----> f3(t)=(u,tv+(1-t)w) de [0;1] dans A
permet de joindre (u,w) à (u,v) en restant dans A.

Par Recollement des 3 segments , tu Obtiens un Arc Continu dans A , reliant (a,b) et (u,v)

Cas 2 : a et v sont dans H
C'est le cas le plus facile ....

Soit f : ------> f(t)
Avec
f(t)=(a,2tv+(1-2t)b)  si 0=< t =< 1/2
f(t)=((2t-1)u +(2-2t)a ,v)  si 1/2 =<t=< 1
f définit un Arc Continu dans A reliant (a,b) et (u,v)

Fin de Démo .

Amicalement . Lhassane
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MohE
Expert grade2
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Masculin Nombre de messages : 317
Age : 25
Localisation : Waterloo, Canada
Date d'inscription : 17/05/2009

MessageSujet: Re: Sur Un Exo de Connexité d' acab8 .....   Lun 17 Nov 2014, 03:05

Autrement dit: Faire un dessin.
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Sur Un Exo de Connexité d' acab8 .....
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