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 arithmetique

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abraha_11
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abraha_11

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MessageSujet: arithmetique   arithmetique EmptyJeu 17 Déc 2015, 22:26

Bonsoir
quelqu un peut me donner une indication pour l exercice suivant:
trouver tous les entiers naturels n tq racine(1+5^n + 6^n + 11^n ) appartient a IN
c est un exrcice du livre najah et merci infiniment
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptyDim 20 Déc 2015, 00:12

Pour n = 0 , l'équation est vérifiée.

Supposons qu'il existe m \in  N\{0,1,2} et n \in  N* tels que 1 + 5^n + 6^n + 11^n = m^2.

Comme 1 + 5^n + 6^n + 11^n est impair alors il existe M \in N* tel que m = 2 M + 1, donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n = 8 \frac{M(M+1)}{2}.

Donc, pour (n \in {1,2}) ou (n \in N\{1,2} avec n pair), elle n'est pas vérifiée.

Pour n \in N\{1,2} et n impair, je galère durement: j'ai pris que 11^n = (5 + 6)^n et 1 = - (5 - 6)^n, et avec les formes binomiales de 11^n et 1, j'ai trouvé une somme que je n'arrive pas a exploiter.

C'est tout ce que j'ai pu faire. Si M. Abdelbaki a une idée pour débloquer la situation, je lui serai bien reconnaissant.
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bianco verde
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bianco verde

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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptyDim 20 Déc 2015, 22:37

Bonsoir , prenez l'expression modulo cinq .
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptyLun 21 Déc 2015, 08:59

Merci M.bianco verde.

Pour n = 0 on a racine (1 + 5^n + 6^n + 11^n) = 2.

Pour n \in N* on a:
5^n est équivalent à 5 modulo 10
6^n est équivalent à 6 modulo 10
11^n est équivalent à 1 modulo 10

Donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n est équivalent à 3 modulo 10.

Maintenant, supposons qu'il existe m \in N tel que 1 + 5^n + 6^n + 11^n = m^2, et comme 1 + 5^n + 6^n + 11^n  est impair alors m est impair, donc m^2 ne peut être équivalent qu'à 1, 5 ou 9 modulo 10, donc 1 + 5^n + 6^n + 11^n ne peut être un carré parfait.

Donc le seul entier naturel tel que racine (1 + 5^n + 6^n + 11^n) appartienne à N est 0.
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nmo
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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptyLun 21 Déc 2015, 12:20

abraha_11 a écrit:
Bonsoir
quelqu un peut me donner une indication pour l exercice suivant:
trouver tous les entiers naturels n tq  racine(1+5^n + 6^n + 11^n ) appartient a IN
c est un exrcice du livre najah et merci infiniment
Le nombre d'unité de arithmetique Gif est arithmetique Gif pour arithmetique Gif.
Et on sait que le chiffre des unités de n'importe quel carré appartient à arithmetique Gif.
Donc arithmetique Gif.
Pour arithmetique Gif, arithmetique Gif est un carré parfait.
La seule solution au problème est, par conséquent, arithmetique Gif.
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abdelbaki.attioui
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abdelbaki.attioui

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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptySam 26 Déc 2015, 22:26

1+5^n + 6^n + 11^n=m^2 avec n>0
modulo 3 , m=r avec r dans {-1,0,1}
1+(-1)^(n+1)=r^2 dans {0,1}==> n pair et r=0
On pose n=2p et m=3k
1+25^p + 36^p + 121^p=9k^2
modulo 4, k=s dans {-1,0,1,2}
3=s^2 dans {0,1} impossible

Donc n=0 et m=2

_________________
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aymanemaysae
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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique EmptyDim 27 Déc 2015, 00:00

Vous nous avez beaucoup manqué M. Abdelbaki.

En ce qui concerne votre solution, elle m'a appris qu'il ne faut jamais s'arrêter au milieu du chemin.

Un grand Merci pour vous, et bonne fête du Mawlid.
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MessageSujet: Re: arithmetique   arithmetique Empty

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