sous espaces supplementaires

Soit E un IK e.v de dimension finie n>1 F et G deux sous espaces de E de même dimension.Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun.

Indication
récurrence sur dim(E)-dim(F)

Maître Nombre de messages : 217 Age : 42 Date d'inscription : 25/04/2006

quelle est la signification de |K- pour rappel? En plus j'ai un doute sur la définition de la supplémentarité dans le cas des espaces vectoriels. Or, pour le cas particulier de F=G=E, l'ensemble nul est-il supplémentaire commun dans E des deux ensembles. Donc, on suppose que pour tout entier m entre 2 et n, toute paire de sous ensembles de E, F et G, de dimensions entre m et n égales, est telle que F et G ont un supplémentaire commun dans E. Aussi, si F et G sont des sous ensembles de E de dimension m-1, les supplémentaires- lesquels existent pour tout sous ensemble- de F et G seraient identiques si F=G. Mais si F et G sont différents...je souhaiterais préciser les notions précédentes.

IK c'est IR l'ensemble des réels ou C ensemble des complexes..de plus dans un espace vectoriel de dimension finie tout sous espace admet un supplémentaire.
le supplémentaire de E est {O_E}.

Maître Nombre de messages : 217 Age : 42 Date d'inscription : 25/04/2006

Deux sous espaces F et G de même dimension m d'un espace vectoriel de E de dimension n, ont des supplémentaires dans E de même dimension n -m, respectivement I et J. Par conséquent, les intersections F' de F et J, et G' de G et I sont des sous espaces vectoriels du sous espace vectoriel I +J. Mais est-ce-que dim F' = dim G', et est-ce-que dim (I+J) -dim F' = dim (I+J) -dim G' > n -m?

On peux avoir ces égalités sans que le problème soit résolu .
E = R^2 ; (i,j) base canonique de R^2 ,F = vect(i) G= vect(j) F'= vct(i+j) et G'=vect(i-j).
Utilise l indication récurrence.

par récurrence sur p=dim(E)-dim(F)
Pour p=0 alors F=G=E alors H={O} convient.
supposons le résultat vrai pour un p entre 0 et n-1
Soient F et G deux sous espaces de E de même dimension telles que dim(E)-dim(F) =p+1
Si F=G alors F admet un supplémentaire dans E (en dimension finie tout sous espace admet un supplémentaire). donc F et G admettent un supplémentaire commun dans E.
Si F et G sont différents alors il existe a dans F\G et b dans G\F et soit c=a+b (c n'appartient ni à F ni à G ; à vérifier).
et soit V=vect(c) alors F + V =F(+) V et G + V= G (+) V des sommes directes (à vérifier)
Soit F'= F (+) V =dim(F) +1 et G' = G (+) V= dim(G) +1 alors Dim(F') =dim(G') et dim (E)-dimF') = p
alors Hypothèse de récurrence F' et G' admettent un supplémentaire commun H'
et soit H = V (+) H' alors
E = F (+) H = G (+) H. CQFD

Maître Nombre de messages : 217 Age : 42 Date d'inscription : 25/04/2006

b =c -a. Donc (a in F) et (b not in F) implique que c n'est pas dans F. Aussi c n'est-il pas dans G.

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