espaces dim finie

soit E un IK-ev de dimension finie et f£L(E) tq
qq soit x ds E , il existe n_x ds IN tq ( f~n_x)(x)=0

montrez que il existe un n ds IN tq f~n(x)=0

(f~k c'est la composée k fois de f )

BSR saadhetfield !!!
Soit {e1,e2,..........,ep} une base de E supposé de dim p sur IK.
Pour chaque i=1,2......., p
il existera n(i) entier tel que f^(n(i))(ei)=0
On notera alors n le PPCM de la famille des entiers n(i) alors
n=d(i).n(i) pour chaque i=1,2......., p
Maintenant , tout élément x de E s'écrira :
x=SIGMA {ai.ei ; i=1,2,..... ,p}
et f^(n)(x)=SIGMA {ai.f^(n)(ei) ; i=1,2,..... ,p}
Or f^(n)(ei)=f^(d(i).n(i))(ei)={f^(ni)}^(di)(ei)=0 pour chaque i
d'ou f^(n)(x)=0
A+ LHASSANE

Grand classique des matrices (et applications) nilpotentes
Sinon, Mr Oeil de Lynx, belle démonstration, même si le max des n(i) aurait suffi

Merci hamzaaa !!
On peut affaiblir l'hypothèse :
<<qq soit x ds E , il existe n_x ds IN tq ( f~n_x)(x)=0 >>
en la supposant réalisée uniquement pour les vecteurs d'une base de E.
Pour le MAX{n(i), ; i=1,2.........,p}=N , tu as raison ( j'ai pas vu !!) c'est vrai puisque f^N=f^(N-n(i))of^(n(i)) pour chaque i par Associativité de la loi " o " etc ......
C'est comme celà que je l'ai vue la 1ère fois lorsque j'étais étudiant en MP ( à la Fac. des Sciences de Rbt ).
Avec le temps et le recul , je l'ai oubliée mais j'en ai trouvé une autre ....
<< Et rappelle-toi hamzaaa de cette pensée qui résiste à l'usure du temps :
La CULTURE , c'est ce qui RESTE quand on a tout OUBLIE !! >>
A+ LHASSANE

hamzaaa a écrit:

Grand classique des matrices (et applications) nilpotentes
Sinon, Mr Oeil de Lynx, belle démonstration, même si le max des n(i) aurait suffi

o fét C cke j'ai fait moi aussi( choisir le max des n_i) .
mé merci Kmm pour vs Mr.LHASSANE

dans toutes ces demo le fait que les ensembles consideres soient bien definis a ete neglige car pur tout i de {1,...,n} il ya une infinite de n(i) tq (f(ei))^n(i)=0 ((e1,..en)etant une base de E)
en effet il est plus rigoureux de considerer l'ensemble{min{n(i)de N/f(ei)^n(i)=0 et i ds {1,...,n}} et de considerer son maximum .ceci est moins elegant (il faudra considerer m=max{min{n(i)de N/f(ei)^n(i)=0 et i{1,...,n}} )mais c'est plus rigoureux

<<Pour chaque i=1,2......., p
il existera n(i) entier tel que f^(n(i))(ei)=0 >>
est parfaitement rigoureux...


Il ne sert à rien, dans cet exercice tout du moins, d'alourdir le raisonnement. Choisir un n(i) quelconque fait largement l'affaire.
Ta remarque, par contre, aurait pû être utile en cas de recherche de conditions sur le n. Plus ce qu'on nous demande est précis, plus nos précautions doivent l'être, c'est tout...

mais il faudra a chaque fois choisir "un" n(i) tel que f^(n(i))(e(i))=0
ce choix ne pouvant etre effectué qu'on admettant l'axiome du choix
je te conseille de visiter wikipedia pour avoir plus d'info
de plus plusieurs demos en sup/spe utilise l'axiome du choix sans y faire allusion c'est souvent le cas dans les construction des suites
par ex si pour tout n il existe x(n) appartenant a E tq 1<x(n)<1+1/n
on dit alors que (x(n)) converge vers 1 mais on n'a pas bien defini (x(n)) car pour tout n il faudra "choisir" un "seul" x(n) parmi les autres pour qu'elle soit bien definie

Oui, mais l'axiome du choix, et tu as sans doute raison de le signaler, est tacitement admis. Inutile d'en faire abstraction dans tes démonstrations...
Aucun prof ne t'en tiendra rigueur d'ailleurs, si tu ne signales pas "et d'après l'axiome du choix", qui n'est d'ailleurs qu'une perte de temps lors d'un concours par exemple...

PS: j'avoue ne m'être jamais posé la question de la non utilisation de l'axiome du choix... j'attends de voir ce que diront les autres... ^^