olympiade tranc commun de tanger 2007

salut! ça fait lontemps que je me suis connecté!
bon hier le vendredi 23 Fev, on a passé les olympiades étape 2(niyabat tanja), je vais le poster et après je vais poster mes réponse pour voir s'ils sont justes ou non ( amuzez vous à le faire).

durée: de 3h à 5h.

exercice1:
x et y sont des nombres relatifs.
détermine x et y tel que:
x²-xy+2y-6x+6=0

exercice2:
détermine le nombre a tel que pour tout x de R on a:
-3<(x²+ax-2)/(x²+x+1)<2

exercice3:
A et B sont deux points differents du plan. (delta) est l'ensemble de points M du plan tel que AMB=60°.
détermine puis trace (delta). (علل جوابك)

exercice4:
ABCD est un carré.
ABE et BCF sont des triangles équilatérals

démontre que D,E et F sont des points alignés.

bonsoir
on a x²-xy+2y-6x+6=0
donc x²-6x+9-9+6-xy+2y=0
(x-3)²-3-xy+2y
(x-3)²-3-xy+3y-y=0
(x-3)²-3-y(x-3)-(y+3)=0
(x-3)(1-y)-(y-3)=0
(x-3)(1-y)-(y-1)-2=0
(x-3)(1-y)+(1-y)-2=0
(1-y)(x-2)-2=0
x-2-xy+2y-2=0
x-xy+2y-4=0
x(1-y)+2y=4
x=(4-2y)/(1-y) pour que 1-ydiff de 0 y doit diff de 1
donc S={(4-2y)/(1-y),y tel que y app à R-{1}}
et voilà j espère que c'est juste

N.B: diff= différent de
et app= appartient

huntersoul a écrit:

bonsoir
on a x²-xy+2y-6x+6=0
donc x²-6x+9-9+6-xy+2y=0
(x-3)²-3-xy+2y
(x-3)²-3-xy+3y-y=0
(x-3)²-3-y(x-3)-(y+3)=0
(x-3)(1-y)-(y-3)=0
(x-3)(1-y)-(y-1)-2=0
(x-3)(1-y)+(1-y)-2=0
(1-y)(x-2)-2=0
x-2-xy+2y-2=0
x-xy+2y-4=0
x(1-y)+2y=4
x=(4-2y)/(1-y) pour que 1-ydiff de 0 y doit diff de 1
donc S={(4-2y)/(1-y),y tel que y app à R-{1}}
et voilà j espère que c'est juste

N.B: diff= différent de
et app= appartient

(4-2y)/(1-y),y ca va pas comme solution tu peux verifier...

bonsoir
en considérant A et B 2 points différents
on donne AMB=60°
donc le triangle ABM est équilatéral et on a M
et on prend M' de l'autre côté et on dessine un un triangle ABM' équilatéral
et on trace (delta) qui passe par M et M'
j espère avoir répondu juste

Mahdi a écrit:

huntersoul a écrit:

bonsoir
on a x²-xy+2y-6x+6=0
donc x²-6x+9-9+6-xy+2y=0
(x-3)²-3-xy+2y
(x-3)²-3-xy+3y-y=0
(x-3)²-3-y(x-3)-(y+3)=0
(x-3)(1-y)-(y-3)=0
(x-3)(1-y)-(y-1)-2=0
(x-3)(1-y)+(1-y)-2=0
(1-y)(x-2)-2=0
x-2-xy+2y-2=0
x-xy+2y-4=0
x(1-y)+2y=4
x=(4-2y)/(1-y) pour que 1-ydiff de 0 y doit diff de 1
donc S={(4-2y)/(1-y),y tel que y app à R-{1}}
et voilà j espère que c'est juste

N.B: diff= différent de
et app= appartient

(4-2y)/(1-y),y ca va pas comme solution tu peux verifier...

oui tu as raison j'ai détecté la faute je vais essayer de la corriger

pour le 4 tu n'as qu'as choisir un repère et travailler avec et je crois que ça marchera

salut, voila mes réponses: prière de les vérigier:
exercice1:
x²-xy+2y-6x+6=0 <=> x²-xy+2y-2x-4x+6=0
<=> x(x-y)+2(y-x)-4x+8-2=0
<=> x(x-y)-2(x-y)-4x+8=2
<=> (x-y)(x-2)-4(x-2)=2
<=> (x-y-4)(x-2)=2
on sait que 2*1=2 et (-1)*(-2)=2
puisque x et y sont des relatifs donc:
x-y-4=1 et x-2=2 <=> x=4 et y=-1
ou x-y-4=2 et x-2=1 <=> x=3 et y=-3
ou x-y-4=-2 et x-2=-1 <=> x=1 et y=-1
ou x-y-4=-1 et x-2=-2 <=> x=0 et y=-3
donc S={(4,-1);(3,-3);(1,-1);(0,-3)}
exercice2:
détermine le nombre a tel que pour tout x de R on a:
-3<(x²+ax-2)/(x²+x+1)<2
on sait que x²+x+1= (x+1/2)²+3/4.
(x+1/2)²>=0 donc (x+1/2)²+3/4>=3/4 donc (x+1/2)²+3/4>0
alors x²+x+1>0 pour tout x de R.
-3<(x²+ax-2)/(x²+x+1)<2 <=> -3(x²+x+1)<x²+ax-2<2(x²+x+1) puisque x²+x+1>0.
<=> -3x²-3x-3<x²+ax-2<2x²+2x+2
<=> -3x²-3x-3<x²+ax-2 et x²+ax-2<2x²+2x+2
<=> 4x²+(a+3)x+1>0 et x²+(2-a)+4>0
considérons l'équation x²+(2-a)x+4=0
x²+(2-a)x+4 est positive pour tout x de R si seulement delta<0
delta=(2-a)²-4*4*1=4+a²-4a-16=a²-4a-12.
x²+(2-a)x+4>0 si seulement si a²-4a-12<0
considérons l'équation a²-4a-12=0
delta=(-4)²-4*(-12)*1=16+48=64 delta>0
donc l'équation admet deux différentes solutions:
a1=(4-/2=-4/2=-2 et a2=(4+/2=12/2=6.
donc l'intervalle des solutions de l'inéquation a²-4a-12<0 est S1=]-2,6[.
considérons l'équation 4x²+(a+3)x+1=0
de mème on trouve que 4x²+(a+3)x+1>0 si seulement si a²+6a-7<0
delta=6²-4*(-7)*1=36+28=64 delta>0
donc l'équation admet deux différentes solutions:
a1=(-6-/2=-14/2=-7 et a2=(-6+/2=2/2=1.
donc l'intervalle des solutions de l'inéquation a²+6a-7<0 est S2=]-7,1[.
donc S=S1 (intersection) S2=]-2,1[.
donc -3<(x²+ax-2)/(x²+x+1)<2 pour tout x de R et pour tout a appartient à ]-2,1[.
exercice3:
on considère deux points diférents A et B dans le plan.
on trace le cercle C(O,r) tel que OA=OB=r et AOB=120°.
[AOB] est un angle au centre dans le cercle C.
donc pour tout angle inscrit dans le cercle [AMB]et associé à l'angle au centre [AOB](qui interceptent le méme arc) on a AMB=AOB/2=60°.
donc pour tout M de l'arc AB et différente de A et B on a [AMB] est un angle inscrit associé à l'angle au centre [AOB] est qui interceptent le meme arc BA donc AMB=60° pour tout M de l'arc AB et M différente de A et B.
donc l'ensemble de points M tel que AMB=60 est l'arc AB exepté A et B.

exercice 4 est facile, je l'ai fait avec la somme des angles

x²-xy+2y-6x+6=0
(2-x)(y-x)+4(2-x)=2
(2-x)(y-x+4)=2
2=1*2=-1*-2
x=0;y=-3
x=1;y=-1
x=4;y=-1
x=3;y=-3

rim hariss a écrit:

salut !
alors! est ce que mes réponses sont justes?
stp répondez moi!

je pense que le 1er est juste

et les autres?!

ouais ele sont justes rim

ouais !!!
merci beaucoup

voila ma réponse pour le dernier exercise :

on pose
F' la protection orthogonale de F sur AB
F'' ........................................ F sur AD

apré determiner les cordonnées de vecteurs AE et AF sur la base

(AB,AD) vecteurs / (en utilisant théoréme de phétagore)

le resultat
AF=(1+V3/2) AB+ 1/2 AD (vecteurs)

AE=1/2 AB+vV3/2 AD (vecteurs)

enfin : les cordonnées

E(1/2 , V3/2) et F (1+V3/2 , 1/2) et D(0,1)

alors c facile a demonter que Det(DE,DF)=0

voila ma réponse pour le dernier exercise :

on pose
F' la protection orthogonale de F sur AB
F'' ........................................ F sur AD

apré determiner les cordonnées de vecteurs AE et AF sur la base

(AB,AD) vecteurs / (en utilisant théoréme de phétagore)

le resultat
AF=(1+V3/2) AB+ 1/2 AD (vecteurs)

AE=1/2 AB+vV3/2 AD (vecteurs)

enfin : les cordonnées

E(1/2 , V3/2) et F (1+V3/2 , 1/2) et D(0,1)

alors c facile a demonter que Det(DE,DF)=0