inegalité

soit (an) une suite croissante pour tout n>=1
pour tout n on a an>0
prouver que :
(1/a1)+(2/(a1+a2))+...+(n/(a1+a2+...an))<4((1/a1)+(1/a2)+...(a/an))

joystar1 a écrit:

soit (an) une suite croissante pour tout n>=1
pour tout n on a an>0
prouver que :
[b]S=[/b](1/a1)+(2/(a1+a2))+...+(n/(a1+a2+...an))<4((1/a1)+(1/a2)+...(a/an))

Et voila :
appliquons CS sur les vecteurs (sqrt(ai)) et (i/sqrt(ai)) on aura :
n/(a1+a2..an)=sn=<4 Dn/(n.(n+1)²) avec Dn=sum i²/ai i=1..n
remarquons que 1/n(n+1)²<[1/2n²-1/2(n+1)²]
S=<2.[Dn/n²-D(n+1)/(n+1)²]+2.[(n+1)²:a(n+1)]/(n+1)²
en sommant il apparait un phenomene telescopique on deduit linegalité cherché ( la constante 4 n'est pas la melleure au fait elle peut etre remplacée par 2 =) )
ps: la croissance est superflue ;et desolé pour cette redaction moins lisible parceque latex ne marche pas ,( )