toutes les fonctions

Trouver toutes les fonctions IR-->IR , continues, admettant 1 et racine(2) comme périodes

Bonjour Sinchy !!!
Il me semble que si une fonction est périodique de Période T , alors tout multiple entier de T est une période . Ici , ton pb est impossible puisque
2^(1/2) n'est pas rationnel !!!!! LHASSANE
Donc :il n'existe pas de telles fonctions!

BOURBAKI a écrit:

Bonjour Sinchy !!!
Il me semble que si une fonction est périodique de Période T , alors tout multiple entier de T est une période . Ici , ton pb est impossible puisque
2^(1/2) n'est pas multiple entier de 1 car non entier !!!!! LHASSANE
Donc :il n'existe pas de telles fonctions!

, la continuite

BOURBAKI a écrit:

Donc :il n'existe pas de telles fonctions!

Bonjour,

L'idée est bonne mais pas la conclusion : les fonctions constantes répondent à la question.

On peut le montrer autrement :
pour tous p et q dans Z, f(p + q*sqrt(2)) = f(0)

on a 0 < sqrt(2) - 1 < 1/2. En élevant à la puissance n, il vient : 0 < e_n = p_n + q_n*sqrt(2) < 1/2^n, p_n et q_n étant entiers relatifs.

Alors, pour tout réel x : x/e_n -1 < [x/e_n] <= x/e_n ==> x - e_n < [x/e_n]e_n <= x ==> x - 1/2^n < [x/e_n]p_n + [x/e_n]q_n*sqrt(2) <= x

On a donc une suite de nombres x_n = [x/e_n]p_n + [x/e_n]q_n*sqrt(2) qui tend vers x et tels que f(x_n) = f(0) tend vers f(0).

Par continuité, on a donc f(x) = f(0) pour tout x ==> f = constante.


En fait, il s'agit juste de montrer que tout réel peut être arbitrairement approché par un nombre de la forme p + q*sqrt(2), p et q entiers relatifs.

--
Patrick

la creme a la tarte , meme question pour 1 et pi

Bonsoir à Tous !!!
Dans ma réponse , j'ai focalisé sur les fonctions périodiques au sens de la définition donnée dans tout ouvrage académique respectable .
Vous , vous vous attachez seulement aux fonctions admettant une période a ou une autre b . Voila la différence !!!!!
Autrement dit : vos fonctions trouvées ne sont pas forcément PERIODIOQUE . LHASSANE
Les fonctions constantes sont pathologiques car PERIODIQUES de période T=0 et cette situation n'est pas acceptée dans la définition de la Période. Veuillez consulter vos cours et MERCI . Sachez aussi que nous faisons tous des Maths ici pour le FUN!!!!!!

Bonjour,

BOURBAKI a écrit:

Sachez aussi que nous faisons tous des Maths ici pour le FUN!!!!!!

Je ne comprends pas cette remarque. Nous sommes tous d'accord sur ce point. Y aurait-il une remarque qui t'aurais fait penser le contraire ?
Si c'est le cas, mes excuses par avance.

BOURBAKI a écrit:

Vous , vous vous attachez seulement aux fonctions admettant une période a ou une autre b .

Non : une période a et une période b.
En fait, pour éviter toute polémique de vocabulaire, j'ai interprété la question comme :

Trouver toutes les fonctions continues de R dans R telles que, pour tout x, f(x+1)=f(x) et f(x+sqrt(2)) = f(x).

BOURBAKI a écrit:

Voila la différence !!!!!

Il y a une autre différence : nous exploitons la continuité, ce que tu ne fais pas.
Et, sans continuite, il existe une infinité de solutions. Par exemple :

f(x) = fonction indicatrice de {x / x=p + q*sqrt(2), pour tous p et q dans Z}

Cette fonction vérifie bien f(x+1)=f(x) et f(x+sqrt(2))=f(x).
Elle n'est bien sûr pas continue.
Elle n'est bien sûr pas constante.
Maintenant, je ne sais pas si elle est pathologique ou si elle est périodique au sens de tes cours. Les miens datent de trente ans et il y a longtemps que je les ai jetés.

--
Patrick,
surpris de ta violente réaction pour un forum de FUN

BOURBAKI a écrit:

Bonsoir à Tous !!!
Dans ma réponse , j'ai focalisé sur les fonctions périodiques au sens de la définition donnée dans tout ouvrage académique respectable .
Vous , vous vous attachez seulement aux fonctions admettant une période a ou une autre b . Voila la différence !!!!!
Autrement dit : vos fonctions trouvées ne sont pas forcément PERIODIOQUE . LHASSANE
Les fonctions constantes sont pathologiques car PERIODIQUES de période T=0 et cette situation n'est pas acceptée dans la définition de la Période. Veuillez consulter vos cours et MERCI . Sachez aussi que nous faisons tous des Maths ici pour le FUN!!!!!!

j'ai pas bien saisie l'idee , votre reponse est juste pour les points de cours mais le probleme dans la deduction ,

@ Patrick !!!
Bonsoir tout d'abord !!! Je suis complètement en accord avec ce que tu dis ; il n'y a pas lieu d'entrer dans une quelconque polémique . Partant de cette optique , ma réponse initiale est alors FAUSSE puisque j'ai implicitement utilisé le fait que les fonctions cherchées devaient etre PERIODIQUES au sens donné par tout bouquin de MATHS actuel ou datant d'il y a 30 ans ((!!!!! comme tu le dis )) alors que cela n'est pas forcé ( cf ds ma réponse <<Il me semble que si une fonction est périodique de Période T , alors tout multiple entier de T est une période .....>> ). Les fonctions cherchées devaient simplement admettre telle période et telle autre !!
Il n'y a pas de violence dans mon intervention , sachez le.
Bonne continuation et à bientôt sur le Forum. LHASSANE
PS: je me suis donc planté à cause de ma mauvaise interpretation de l'énoncé !

Sinchy a écrit:

la creme a la tarte , meme question pour 1 et pi

De manière générale, si a est irrationnel, la suite u_k= frac(k*a), k>0, ne contient que des nombres différents tous dans ]0,1[. En prenant par exemple les n premiers termes de la suite, il y en a forcément deux dont la différence est < 1/n, ce qui montre qu'il existe nécessairement un z_n de Z* tel que 0 < frac(z_n*a) < 1/n

On reprend alors le raisonnement pris pour racine(2)

Soit x réel
Soit alors x_n = frac(z_n*a) [x/frac(z_n*a)]
x_n est de la forme z1 + z2*a (z1 et z2 dans Z) et on a x - 1/n < x_n <=x

on a donc une suite x_n convergeant vers x et dont les f(x_n) valent tous f(0).

Par continuité, on a donc bien f(x) = f(0) pout tout x réel.

Les seules fonctions continues f telles que f(x+1)=f(x) et f(x+a)=f(x) pour tout x réel et pour un certain a irrationnel sont les fonctions constantes.

--
Patrick

D'une maniere plus générale pour une fonction à variable réelle comme l'a di pco si elle admet a et b comme periode alors p*a+q*b et aussi une periode
et donc si {p*a+q*b, pour p,q dans N} est dense dans R c'est à dire a/b irrationnel (dense : tout réel est aprochable suffisament d'un élément de cet ensemble) alors par continuité la fonction est périodique de période tout x dans R => f est constante
pour les fonction complexe c'est n'est plu du tout vrai (quoi que..)