equation

trouver tous les entiers naturels x,y,z,t et n verifiants l'equation:
x²+y²+z²+t²=2^n

est ce que la congruence modulo 4 sera utile?

non

Bonjour,

aannoouuaarr a écrit:

trouver tous les entiers naturels x,y,z,t et n verifiants l'equation:
x²+y²+z²+t²=2^n

Supposons x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 2^n avec n > 0. Alors, l'un au moins de y, z ou t est de même parité que x. Disons y. Alors z et t sont de mêmes parités. On a alors :

((x+y)/2)^2 + ((x-y)/2)^2 + ((z+t)/2)^2 + ((z - t)/2)^2 = 2^(n-1)

A partir de toute solution (x,y,z,t,n) on peut donc construire une solution (|x+y|/2, |x-y|/2, [z+t|/2, |z-t|/2, n-1) ... et un chemin conduisant à une solution avec n=0.

En conséquence, toute solution avec n > 0 est résultat d'un chemin inverse de transformations de type (x,y,z,t,n)==> (|x+y|,| x-y|, |z+t|, |z-t|, n+1) à partir d'une solution avec n=0.

Or, il n'y a qu'une solution avec n=0 : (1,0,0,0).
Toutes les solutions cherchées sont donc issues de (1,0,0,0,0) par transformations successives de type (x,y,z,t,n)==> (|x+y|,| x-y|, |z+t|, |z-t|, n+1) .

Il est alors immédiat de voir que les solutions sont toutes d'une des trois formes suivantes (aux permuttions près):
(2^((n-1)/2), 2^((n-1)/2), 0, 0) si n est impair
(2^(n/2), 0, 0, 0) si n est pair
(2^(n/2 - 1), 2^(n/2 -1), 2^(n/2 - 1), 2^(n/2 -1)) si n est pair

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Patrick

aannoouuaarr a écrit:

trouver tous les entiers naturels x,y,z,t et n verifiants l'equation:
x²+y²+z²+t²=2^n

sachant que qq soit n de N* il existe un couple (p,q) de NxN tel que n=2^p.(2q+1)
on peut affirmer lexistence d'un a dans N tel que 2^a ( 2^a le plus grand nombre de cette forme verifiant cela !!) devise x,y,z,t.
les nombre x²/2^2a , y²/2^2a , z²/2^2a, t²/2^2a ne peuvent pas etre tous pair ( 2^a est le plus grand nombre .....!!!)
alors on a trois cas a etudier :
♣ou bien ils sont tous impaires:
donc ♦ x²/2^2a +y²/2^2a +z²/2^2a+t²/2^2a=2^(n-2a)=4[8] ( (impair)²=1[8])
==> n-2a=2=+>a=(n-1)/2
on deduit ensuite x=y=z=t=2^a.avec a =(n-1)/2
♣ si deux seulement parmi eux qui sont impairs (supposant x²/2^2a +y²/2^2a le sont ) alors :
x²/2^2a +y²/2^2a +z²/2^2a+t²/2^2a=1+1+0+0[4]
==>2^(n-2a)=2[4]
==> n-2a=1
==> a=(n-1)/2
et on trouve ensuite ( remplaçant dans ♦ italique)
donc x=2^a et y=2^a et z=t=0
♣ si lun d'eux est impaire (supposant que cest x²/2^2a ) et les autres sont pairs :
on aura : n=2a et d'ou :
x=2^(2a) et y=t=z=0