uniforme et non normale

Existe-t-il des fonctions f_n : [0; 1] -->IR+ continues telles que la série des f_n converge uniformément mais pas normalement ?

Oui


Soit f(a,b,n) la fonction nulle hors de [a..b] affine par morceaux sur [a..b] avec f(a+b)/2 = 1/n (un créneau).

f_n (x) = f(1/2^(n-1),1/2^n, 1/n)(x)

\sum f_n converge (simplement pour l'instant) clairement vers une fonction f.

||\sum f_n(x) - f(x) || <= 1/n, la convergence est donc uniforme

Mais la convergence ne peut être normale vu que max|f_n(x)| = 1/n qui diverge.