olympiade TC régionale

voila4 exercices d'olympiade de TC, relevez le défi!
1)C et C' sont 2 cercles qui ont le mémé centre mais de rayon différents.
(d1) demi droite ( أصلها o ) et coupe C et C' dans A et B successivement.
(d2) demi droite ( أصلها o ) ((d1) عمودية على) qui coupe C et C' en A' et B'.
(D) est متوسطdu triangle OAB' qui passe par o.
démontre que (D) est une hauteur du triangle OA'B.

2)A B C et D sont des points du cercle T(o,r) tel que (AB) et (CD)sont perpendiculaires en I.
la droite parallèle de (CD) et passant par B coupe le cercle en B'.
a)prouve que AC²+BD²=4r²
b) calcule IA²+IB²+IC²+ID²

3) ABC est un triangle, I est le mileu du segment BC et J le miliu de AC.
M est un point du segment AI et M' est symétrique à M par rapport à J.
la droite passant par M' et parallèlle de (IJ) coupe BC e P.
démontre que (MP) est parallèlle à (AC).

4)le plan "mansoub" à un repère mota3amed wa moumandam.
(E) est l'ensemble d points M(x;y) tel que:
(sina)x-(cosa)y+p>=0
sin(a+pi/3)x-cos(a+pi/3)y=<0 p>0 et pi/3
a) dessine (E)
b) S es la surface de (E) et L est son périmètre
prouve sque 36S=L²

Merci beaucoup rim
on va y penser !

Merci

helo
pour le 1,il m'a beaucoup plu,il est tres intelligent posé,et dur,voila comment vous procedez,j'vous donnerais pas la reponse toute cuite

1 - Soit I milieu de [AB'] (point de la médiatrice)
Puisque OAB' est triangle rectangle, on a IO = IA = IB'
donc triangle IOA isocèle en I, de même que IOB'.

2- posez V= mesure de l'angle (AOI) et démontrez que l'angle (OBA') est (pi/2 -V ),
en regardant les angles qui sont égaux à et ceux qui lui sont complémentaires (pi/2 - V).

ce qui permet d'établir l'angle droit, (D) perpendiculaire à (AB).

pour le troisieme comment avez vous fais?

très bien sami! c juste!

le troisieme est dur a mon gout...:s

je viens de résourdre le troisième exercice, il est vraimemnt dur mais il faut seulement trouver la bonne méthode.
voila la solution:
soit Q le point d'intercection de (M'P) et de (AC) et R le point d'intercection de (AI)et (M'P).
I est le milieu de BC et J est le milieu de AC.
donc (IJ) // (BC)
et puisque (IJ)//(M'P) on a (M'P)//(BC).
Q£(M'P) donc (QP)//(BC)
dans le triangle CAB on a :
Q£ au segment AC et P au segment BC et (BC)//(QP)
donc SELON TALIS :
CQ/CA = CP/CB = QP/AB = k
donc vec(CQ)=k.vec(CA)
et vec(CP)=k.vec(CB)
on a M' est symétrique à M par rapport à J
donc J est le milieu de MM'
J est le milieu de MM' et de AC donc AM'CM est parrallélograme.
donc (M'C)//(AM) <=> (M'C)//(AR)
selon talis on a QC/QA= QM'/QR =CM'/AR =MA/AR = x (AM=CM')
donc vec(QC)=x.vec(QA)
vec(QM')=x.vec(QR)
vec(MA)=x.vec(AR) <=> vec(AM)=-x.vec(AR)
on a
vec(CQ)=- vec(QC)
k.vec(CA)= -x.vec(QA)
k.vec(CQ)+k.vec(QA)=-x.vec(QA)
donc k.vec(CQ)=-vec(QA)(x+k)
donc vec(CQ)=-((x+k)/k)*vec(QA)
vec(QC)=(x+k)/k * vec(QA)
et puisque vec(QC)=x.vec(QA)
donc (x+k)/k=x
x+k=xk <=> x=k/(k-1)
on a :
vec(AM)=-x.vec(AR)=-x.vec(AI)-k.vec(IR)
=-x.vec(AI)-k.vec(MI) (MI=IR car J est milieu de MM' et IJ//M'R donc I est milieu de MR)
vec(AM)=-x.vec(AI)-x.vec(MA)-x.vec(AI)
vec(AM)+x.vec(MA)=-2x.vec(AI).
vec(AM)-x.vec(AM)=-2x.vec(AI).
(1-x)vec(AM)=-2x.vec(AI).
vec(AM)=(2x/(x-1)).vec(AI).
2x=2k/(k-1)
et x-1= (k/(k-1)) -(k-1)/(k-1) = (k-k+1)/(k-1) = 1/(k-1)
donc (2x/(x-1))=2k/(k-1) * (k-1) =2k
donc vec(AM)=2k.vec(AI) donc AM/AI=2k
<=> 1-(IM/AI)=2k <=> IM/AI=1-2k
on a vec(CP)=k.vec(CB)=2k.vec(CI) (CB=2CI)
vec(CP)=2k.vec(CI) donc CP/CI=2k
<=> 1-(IP/IC)=2k <=> IP/IC=1-2k
donc IP/IC=IM/IA
donc selon thalis on a (MP)//(AC)