exo polynome +Oral de L'X

Trouver tout les polynomes P de C[x] tel que P[|C] soit inclus dasn |R.

Titre edité par l'administration

en remarquant que tout polynome de C de degré supérieur ou egal a 1 réalise une surjection de C vers C, on peut affirmer que les seuls polynomes qui verifient cette rerlation sont les polynomes constants avec la constante dans R

NB : j ai un exo plus intéressant, je l ai eu en oral pour intégrer l X. j ai réussi à le faire, mais franchement ce jour la j avais bcp de chance

voila l exo :
trouver tous les polynomes de C[X] tels que l image de R-Q est incluse dans R-Q.

BJR à Tous et Toutes !!!
Il serait bon de rappeler que R-Q n'est pas STABLE pour l'addition et la multiplication habituelle !
En outre IRRATIONNEL + RATIONNEL =IRRATIONNEL
et IRRATIONNEL x RATIONNEL = IRRATIONNEL par suite , il reste les polynômes de degré 1 de la forme :
P(X)=aX+b avec a et b rationnels qui font l'affaire !!
Sauf erreurs bien entendu !!
A+ LHASSANE

ce que t as fait ici n est pas une démonstration mais c est juste une remarque. Moi aussi j ai procédé de la même façon le jour de mon oral, mais un peu différemment, je me suis dit que X² ne laisse pas stable racine(2) , x^3 ne laisse pas racine3(2)...j ai dit au professeur que la solution est les polynomes de degré 1...il m a dit : démontrez le alors!

je sais c est pas convaincant ce que j ai dit: pour bien comprendre ma ramarque: essaye d'appliquer ce que tu as dit sur le pôlynome X^6+2X^5+3x^4+2x²+7x+1?

NB: c est bien de faire ce genre de remarque, ça donne une bonne impression, ça permet de gagner des points mais sache que c est pas une démonstration!

bel_jad5 a écrit:

NB : j ai un exo plus intéressant, je l ai eu en oral pour intégrer lX. j ai réussi à le faire, mais franchement ce jour la j avais bcp de chance

voila l exo :
trouver tous les polynomes de C[X] tels que l image de R-Q est incluse dans R-Q.

Ma contribution , bel_jad5, n'est en aucun une démonstration . Il s'agit de bribes mathématiques et remarques pratiques conduisant à intuiter le résultat final !!!
Au fait , comment as-tu répondu , petit futé et chanceux !!!!!!!
A+ LHASSANE

si P existe alors P= ct élé de IR.
EN EFFET/ soit P(x) = sum( k=o^n,a_kx^k) pour tout x de IR on a :
P(x)= c(P(x) ( c(z) = conjugué de z)
donc poir tout i de {0;1,...,n} on a a_i = c(a_i) ie P appartient à IR[X]
et pour tout z de C on a sum(k=o^n, a_i(z^i-c(z^i))=o
alors a_i=o pour tout i élément de {1,2...,n}
or P(o)=a_o et dans IR
or P= ct de IR convient.
donc P (X)= a_o élé de IR sont les seules solution du problème

CQFD.

Pour aissa : le premier problème n est pas intéressant du tout , essaye plutot de faire le deuxième.

Pour BOURBAKI : je ne vais pas poster la solution, j attend les contributions des autres membres.

bel_jad5 a écrit:

Pour BOURBAKI : je ne vais pas poster la solution, j attend les contributions des autres membres.

Tant mieux bel_jad5 , je prends le temps de chercher moi aussi car ton Pb a mis sérieusement mes neuronnes en effervescence !!!
A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

bel_jad5 a écrit:

Pour BOURBAKI : je ne vais pas poster la solution, j attend les contributions des autres membres.

Tant mieux bel_jad5 , je prends le temps de chercher moi aussi car ton Pb a mis sérieusement mes neuronnes en effervescence !!!
A+ LHASSANE

Salut Bel_jad5 !!
Comme j'ai constaté tes réapparitions soudaines et furtives après une longue évanescence pour ne pas dire absence ... pris dans l"enfer de tes cours à Poly...
Je me permets de te relancer sur cette QUESTION dont j'aimerais bien avoir une soluce !!
Depuis donc belle lurette , il n'y a pas eu de contributions de forumistes aussi , tu peux prendre l'initiative de poster ta réponse à la question .
Ta réponse m'obligerait .
A+ LHASSANE

Je ne suis pas bel_jad5, mais voilà une esquisse de ma démonstration pour ce problème.

On suppose que deg(P) >= 2.
On peut prouver que P doit être à coefficients rationnels (car ses coefficients sont solution d'un système linéaire rationnel ..).
Maintenant, on peut supposer que P est à coefficients entiers :
P(X) = a_n X^n + ... + a_1 X + a_0.
Maintenant soit E = { l'ensemble des solutions d'une équation polynomiale de la forme P(x) - m, où m est un entier }.
E doit être un ensemble de nombres rationnels, et, si p/q est dans E, alors q doit diviser a_n.
Donc les éléments de E ont une distance minimale les séparant.
Et maintenant je pense que si l'on va suffisamment loin, on peut trouver des solutions très proches pour P(x)-m et P(x)-m-1.

Voilà

BSR mathman !!
Ce n'est pas important ( un point commun : vous êtes Parisiens tous les deux !!! ) , l'essentiel c'est ta contribution dont je te remercie !!!
J'avais bien suspecté que les solutions seraient les polynômes de Q[X] de degré <=1 Voir ci_dessus:

BOURBAKI a écrit:

BJR à Tous et Toutes !!!
.............par suite , il reste les polynômes de degré 1 de la forme :
P(X)=aX+b avec a et b rationnels qui font l'affaire !!
Sauf erreurs bien entendu !!
A+ LHASSANE

Apparemment , il me semble que tu amorces là une démo par l'absurde !!!
Je te suis parfaitement mais à partir de :
<<Maintenant soit E = { l'ensemble ............ >>
Je ne te suis plus et pourtant , je ne suis pas << dur de la feuille >> !!!!
A ta décharge ,tu as bien précisé qu'il ne s'agit que d'une ébauche de démo !!
A+ LHASSANE

jolie demonstration mathman l3az
il te reste la reciproque qui est triviale:
aX+b avec a et b rationnels et les cstes irrationnelles

eto a écrit:

jolie demonstration mathman l3az
il te reste la reciproque qui est triviale:
aX+b avec a et b rationnels et les cstes irrationnelles

J'ai oublié les polynômes constantes irrationnelles !!! Merci eto !!!!
A+ LHASSANE

Merci eto, et oui pour la réciproque.

LHASSANE, ok, alors reprenons au moment où j'écris "P(X) = ..", et essayons de rendre la preuve plus rigoureuse.
On peut en outre supposer a_n > 0.
Maintenant on se donne un entier m > a_0 et un nombre premier q.
Alors l'équation P(x) - m = 1/q a une solution réelle (TVI), et cette solution doit être rationnelle, donc appelons-là u/v avec u et v premiers entre eux.
Alors on trouve que q | v^n, mais alors (q est premier) q | v et aussi q | (v^n/q).
On voit alors que q | a_n u^n, puis comme u et v sont premiers entre eux ceci implique que q | a_n.
Et donc a_n possède une infinité de diviseurs, contradiction.

J'espère que tout est clair maintenant.

BJR mathman !!
Merci bcp !!
Maintenant c'est tout à fait CLAIR et CONVENABLE pour moi !!
A+ LHASSANE

Ok, tant mieux, et de rien

bonjour

ici sont ajoutés ces deux exos (voir exo 9 et exo 10)

bientôt les solutions seront ajoutées

bonsoir

mathman dit :

On peut prouver que P doit être à coefficients rationnels (car ses coefficients sont solution d'un système linéaire rationnel ..).


je ne comprends pas ça

P transforme un irrationnel en un irrationnel


comment on obtient ce systéme ?

ça sera super bien si on repense à l'exercice dés le début,à l'époque j'ai pas osé le faire,maintenant ça va être un bon défi à relever! donc un peu de temps pour construire toute la soluce!

Bonsoir :

Voici une preuve du fait que si P n'est pas constant alors il est à coefficients rationnels .



voir tout en bas un doc complet sur le sujet

peut être j'ai eu une solution!

http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=6&identifiant=f43a323ca6ab06285b48142242caa88b

Bonjour

Merci Radouane


Le fruit de tous ces essais est ici (il suffit de cliquer dessus)