Suite ¤**¤

salut
soit (xn) une suite de nombre reeles >=0 tel que (xn+x(2n)/2) est convergente ---> 1
montrer que (Xn) est convergente puis determiner sa limite

on suppose ke (Xn) n est po convergente

alors limX_n=00 et limx(2n)/2=00 (les deux soit +00 ou -00)

d ou lim(xn+x(2n)/2)=00 (absurde car lim(xn+x(2n)/2)=1 )

puisque (Xn) est convergente on suppose ke limX_n=l

on a l+l/2=1 donc l=2/3

digital_brain a écrit:

on suppose ke (Xn) n est po convergente

alors limX_n=00 et limx(2n)/2=00 (les deux soit +00 ou -00)

d ou lim(xn+x(2n)/2)=00 (absurde car lim(xn+x(2n)/2)=1 )

puisque (Xn) est convergente on suppose ke limX_n=l

on a l+l/2=1 donc l=2/3

salu t deigital brain
(xn) nest pas convergente nequivaut pas que lim xn =00
(-1)^n nest pas convergente mais ...il ne diverge po vers +00

selfrespect a écrit:

digital_brain a écrit:

on suppose ke (Xn) n est po convergente

alors limX_n=00 et limx(2n)/2=00 (les deux soit +00 ou -00)

d ou lim(xn+x(2n)/2)=00 (absurde car lim(xn+x(2n)/2)=1 )

puisque (Xn) est convergente on suppose ke limX_n=l

on a l+l/2=1 donc l=2/3

salu t deigital brain
(xn) nest pas convergente nequivaut pas que lim xn =00
(-1)^n nest pas convergente mais ...il ne diverge po vers +00

X_n divergente & X_n >=0!

nn je ne crois pas en fait (xn) est majorée par 1
alors comment peut t elle diverger vers +00 !!!!!!

selfrespect a écrit:

nn je ne crois pas en fait (xn) est majorée par 1
alors comment peut t elle diverger vers +00 !!!!!!

Et bien c'est ça la contradiction

contradiction de quoi ?!

On a X_n est une suite positive, et si elle divergeait elle tenderait forcement vers +oo,or X_n est majorée,contradiction.

voila lenoncé moi aussi jaffirme qque Xn) est convergente
"soit (xn) une suite de nombre reeles >=0 tel que (xn+x(2n)/2) est convergente ---> 1
montrer que (Xn) est convergente puis determiner sa limite "
Merçi votre contre exemple etait pour digital brain je crois .

selfrespect a écrit:

salut
soit (xn) une suite de nombre reeles >=0 tel que (xn+x(2n)/2) est convergente ---> 1
montrer que (Xn) est convergente puis determiner sa limite

Bonjour à Tous mes Amis !!!!!
Pour cet Exo assez Joli de Selfrespect et comme il est posé dans le Salon des Sup-Spés , je propose ceci:
On a pour tout entier n : 0<=xn<=xn+(x(2n)/2)
En outre cette suite MAJORANTE est supposée converger vers 1 , donc pour n assez grand on aura
0<=xn<= xn+(x(2n)/2)<=3/2 .
On peut alors travailler dans le COMPACT [0,3/2] de IR .
Si on montre que la suite {xn}n n'admet QU'UNE SEULE VALEUR D'ADHERENCE alors elle serait convergente vers cette unique valeur d’adhérence. Voir le lien suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_de_suite#Suite_convergente
Alors soit r une valeur d’adhérence de {xn}n , il existera par définition , une suite extraite {x(f(n)}n convergente vers r mais alors :la suite {x(2.f(n)}n etant elle-même extraite de {x(f(n)}n convergera aussi vers r .
La suite {x(f(n)+x(2f(n))/2}n converge par hypothèse vers 1 ,or elle converge aussi vers r+(r/2)=(3/2).r donc nécessairement r=2/3 par unicité de la limite .
Conclusion : la seule valeur d’adhérence de la suite {xn}n est r=2/3 .
CQFD . A+

joli preuve , je vois que le truc des valeur d'adherence est efficace pour ce genre d'exos est ce que vous pouvez me filler un lien ou figure mieux cette thechnique.
merçi.

Re-BSR Selfrespect !!!
Sur Wiki , tu tapes les mots-clés :
Espaces métriques-Valeurs d'adhérence-Compacité
et tu trouveras ton bonheur ; le lien que j'ai donné est également intéressant !!
A+
PS : c'est de cette manière que l'on prouve que la suite
{(-1)^n } est divergente car elle possède deux valeurs d'adhérence à savoir 1 et -1 .

salut!

généralisation:

soit (xn) une suite de nombre réeles >=0 tel que (xn+x(2n)/2) est convergente ---> l

montrer que (Xn) est convergente puis determiner sa limite.

démonstration:

si la suite u(n) converge,sa limite l' vérifie l'+1/2*l'=l =>l'=2/3*l.

considérons donc la suite x(n)=u(n)-2/3*u(n),on se ramène à l'étude de la suite x(x).

la suite x(n)+1/2*x(2n) converge vers 0 (aprés seulement la substitution).donc le problème revient à prouver que x(n) converge vers 0.

je continu aprés car se demande de LATEX.