montrer que ...=....

bonsoir a tous voila
je vous propose cet exo

demontrer que

bonne chance a tous et a toutes

Slt voila ma solution :
On pose le polynôme : p(z)= z^2n -2cos(α)z^n +1 tel que z de C et α € ]0,π[

Soit l’équation z²-2cos(α) z+1 =0
On a les solutions de cette équation sont z1=e^iα et z2= e^i-α
Donc les solutions de p(z =0 sont : zk=[1, α/n + 2kπ/n] et z’k=[1, -α/n + 2kπ/n] kde(1,2..n-1)
Donc p(z)= (z^n - e^iα) (z^n - e^i-α)
= ∏ (z- zk) * ∏ (z- z’k) [de k=0 à k=n-1)
= ∏ (z- zk) (z- z’k) [de k=0 à k=n-1)
= ∏ (z²-(zk+z’k)z+zk*z’k)

Et on a : zk+z’k=2cos (α/n + 2kπ/n) formule d’Euler
zk*z’k=1
Donc :
P(z)= ∏ (z²-2cos (α/n + 2kπ/n) +1) [de k=0 à k=n-1)
Et on a :
p(1)= ∏ (2-2cos (α/n + 2kπ/n) [de k=0 à k=n-1)
= 4^n ∏ sin² (α/2n + kπ/n) car (cosx=1-2sin²(x/2))
Et on a aussi :
p(1)= 2(1-cos(α) = 4sin² (α /2)
Donc :
4^n ∏ sin² (α/2n + kπ/n) = 4sin² (α /2)
<==> 2^(n-1) ∏ sin (α/2n + kπ/n)= sin (α /2) [de k=0 à k=n-1)

<==> 2^(n-1) ∏ sin (α/2n + kπ/n) = sin (α /2)/ sin (α/2n) [de k=1 à k=n-1)
On a :
Lim 2^(n-1) ∏ sin (α/2n + kπ/n)= Lim sin (α /2)/ sin (α/2n) (α tend vers 0)
On a :
Lim 2^(n-1) ∏ sin (α/2n + kπ/n)= 2^(n-1) ∏ sin (kπ/n) (α tend vers 0)

Et Lim sin (α /2)/ sin (α/2n) = n (α tend vers 0)
Donc :
2^(n-1) ∏ sin (kπ/n) = n <==> ∏ sin (kπ/n) = n/2^(n-1) [de k=1 à k=n-1)

voila une autre demarche !! (classique lol)
on remarque que
P(x)=1+x+x²+x^3+...+x^{n-1}=Sum_{1}^{n-1} x^k=\prod_{k=1}^{n-1}(x-µk) ♦
tel que µk=exp(i2kpi/n) (? remarque que P(x)=0 ==>x^n=1 !! alors cherchons les racines des unités...)
alors prenons x=1 dans ♦

vs obtiendrez Pn=n/2^{n-1} ( Pn le produit sin(kpi/n))
a+

selfrespect a écrit:

voila une autre demarche !! (classique lol)
on remarque que
P(x)=1+x+x²+x^3+...+x^{n-1}=Sum_{1}^{n-1} x^k=\prod_{k=1}^{n-1}(x-µk) ♦
tel que µk=exp(i2kpi/n) (? remarque que P(x)=0 ==>x^n=1 !! alors cherchons les racines des unités...)
alors prenons x=1 dans ♦

vs obtiendrez Pn=n/2^{n-1} ( Pn le produit sin(kpi/n))
a+

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