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Sujet: Problème d'octobre 2009 Jeu 01 Oct 2009, 09:28
Soit z un nombre complexe tel que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2. Montrer que |z-1/3|<2/3.
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abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: Problème d'octobre 2009 Jeu 01 Oct 2009, 09:28
Salut, Pour participer prière de : 1) Poster votre réponse par E-MAIL abdelbaki.attioui@menara.ma
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houssa Expert sup
Nombre de messages : 1693 Age : 68 Date d'inscription : 17/11/2008
Sujet: Re: Problème d'octobre 2009 Jeu 22 Oct 2009, 05:44
Pb Oct 2009 Solution postée
Invité Invité
Sujet: Re: Problème d'octobre 2009 Mar 03 Nov 2009, 18:25
Bonjour,
Il y a mieux et plus simple: Montrer que Re(z)>0 et |z²-1/2|<1/2 entrainent que |z-1/2|<1/2.
La condition |z-1/2|<1/2 est équivalente à (x-1/2)²+y²<1/4 soit encore x²+y²<x soit encore r<cos(t) en passant en coordonnées polaires. En l'écrivant pour z² on obtient r²<cos(2t)=cos(t)²-sin(t)² d'où r²<cos(t)² qui donne bien, puisque cos(t)>0 , r<cos(t) c'est-à-dire la conclusion.
Le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est inclus dans le disque de centre 1/3 et de rayon 2/3.
houssa Expert sup
Nombre de messages : 1693 Age : 68 Date d'inscription : 17/11/2008
Sujet: Re: Problème d'octobre 2009 Mar 03 Nov 2009, 20:50
salam mr Jandri
vous dites mieux et plus simple
pourquoi n'avez vous pas posté?
ma solution utilise l'outil le plus simple : le module
donc c'est la plus simple.
avec mes respects. ..
Invité Invité
Sujet: Re: Problème d'octobre 2009 Mer 04 Nov 2009, 08:39
Bonjour Houssa,
Je n'ai pas voulu dire que j'avais une solution plus simple du problème proposé mais je donne un résultat plus fort (car le disque de centre 1/2 et de rayon 1/2 est le plus petit disque contenant les z vérifiant les hypothèses); enfin ce résultat est très simple à justifier car si on connait l'équation polaire de ce disque (r<cos(t)) alors il suffit d'écrire r²<cos(2t)<(cos(t))² pour démontrer la conclusion.