Nombres complexes

Bonjour,

Citation :

Résoudre dans U,l'ensemble des nombres complexes de module 1:
{z+z'+z''=1
{zz'z''=1

Je pense qu'il faut trouver un polynome de degré 3 tel que z,z' et z'' seront les racines mais mon problème c'est que je ne sais pas à quoi est égale z²+z'²+z''²

Merci de votre aide

Je pense qu'il s'agit de trouver 3 complexes tous de module 1 et qui vérifient tes deux relations !!!
Considère le polynome
P(X)=(X-z)(X-z')(X-z'')
puis développes le , tu trouveras :
P(X)=X^3+(z+z'+z").X^2+ (zz'+zz"+z'z").X-zz'z"
Tu connais z+z'+z"=1 puis zz'z"=1 aussi , il te manquera :
zz'+zz"+z'z"
Donc je ne vois pas ou intervient ton expression z²+z'²+z''² ???!!!
A+ LHASSANE
PS : dans tes efforts à calculer l'expression zz'+zz"+z'z"
tu peux toujours remplacer zz' par 1/z" puis z+z' par 1-z" .....
A CREUSER .....

j'ai fait la même chose que toi...
Alors z+z'+z''=1 quand on l'éléve au carré on trouve:
z²+z'²+z''²+2(zz'+z'z''+z''z)=1 donc pour trouver zz'+z'z''+z''z il faut d'abord trouver z²+z'²+z''² d'où ma question.

Je vais essayer d'expoiter la piste que tu m'a donnée.
Merci

J'ai , MORALEMENT , l'impression que l'on ne dispose pas de suffisammant de données pour arriver à une solution !!! En effet , on dispose de DEUX relations en vue de déterminer TROIS inconnues !!!
Le calcul de zz'+z'z''+z''z va aboutir à : (-z"^3+z"^2+1)/z"
expression renfermant l'inconnue z" !!!!!
CONCLUSION : changer de démarche .....
Une autre voie serait de fixer par exemple z" complexe de module 1 et chercher les 2 autres z et z' devant vérifier :
z+z'=1-z"
zz'=(1/z")
z et z' de modules égal aussi à 1
et voir peut etre que c'est IMPOSSIBLE et de là le Problème n'aurait pas de solutions !!!
A toi de jouer !
A+ LHASSANE

ok alors j'ai pris z"=rac(2)/2+irac(2)/2 alors:
z+z'=1-rac(2)/2-irac(2)/2=S
zz'=1/2-i/2=P
donc z et z' sont les solutions de l'équation Z²-SZ+P=0
c'est ça ?

Tu as donc pris , PAR EXEMPLE , z"=exp(iPi/4)
L'idée que je t'ai exposée est bien celà reste à voir si l'équation
Z²-SZ+P=0
a des solutions de modules 1 et c'est celà l'important !!!
A+ LHASSANE
zz'=1/z"=exp(-iPi/4)=rac(2)/2 - irac(2)/2=P
erreur chez toi !!!!
Pour la méthode il faut choisir z" quelconque de module 1 et travailler avec.

PS: pendant que j'y pense z=1 ,z'=i et z"=-i sont solutions de ton Pb
donc le Pb que tu as posé possède au moins une solution !!!
z+z'+z"=1+i-i=1
et zz'z"=1.i.(-i)=-i^2=1

ok j'ai compris
merci beaucoup de ton aide[/img]

j'ai remarqué qu'il était plus simple de z''=1 car en prenant z''=e^{ipi/4} j'avais du mal à calculer racine de delta...

Salut cauchy-schwartz !!
J'ai retrouvé ton exo sur le Forum ; voici le lien:
https://mathsmaroc.jeun.fr/Terminale-f3/simple-exo-de-complexe-t4576.htm#37012
Je te reproduis la solution excellente donnée par aliaz !!!
<< salut a tous
vue que le module de ces nombres vaut 1 alors a=1/a'
(a' le conjugué de a) de meme pour b et c
donc 1/a'+1/b'+1/c'=1
cad (1/(ab)'+ 1/(ac)'+1/(bc)')/1/(abc)'=1
ce qui donne ab+bc+ac=1
ainsi on a les trois sommes de VIETE donc a,b et c sont les racines de x^3-x^2+x-1=0
finalement a,b,c£{1,i,-i}
voila >>
Pour toi ; a=z , b=z' et c=z" .
A+ LHASSANE

merci