valeur d'adhérence

Soit f:IR--->IR continue et x_0€IR. Montrer que si la suite récurrente
x_(n+1)=f(x_n) admet une unique valeur d'adhérence alors elle est convergente.

Supposons le contraire.

Si l est l'unique va et que x_n ne converge pas, on peut trouver a, b, a < l < b tels que A=[a;b] ne contient pas une infinité de termes de (x).

f(A) = f([a;b]) = [c;d] comme image d'un compact connexe par une fonction C°.

f(A) n'est pas contenu dans A par hypothèse (sinon tous les x_n resteraient dans A à partir d'un certain rang). Pour la même raison F(A)\A contient une infinité de termes.

Mais f(A)\A est compact et contient donc une suite sans valeur d'adhérence : contradiction.

ThSQ a écrit:

Supposons le contraire.

Si l est l'unique va et que x_n ne converge pas, on peut trouver a, b, a < l < b tels que A=[a;b] contient une infinité de termes de (x).

f(A) = f([a;b]) = [c;d] comme image d'un compact connexe par une fonction C°.

f(A) n'est pas contenu dans A par hypothèse (sinon tous les x_n resteraient dans A à partir d'un certain rang). Pour la même raison F(A)\A contient une infinité de termes.

Mais f(A)\A est compact et contient donc une suite sans valeur d'adhérence : contradiction.

Attention, les phrases rouges ...!

Oui c'est ne contient pas bien sûr. Et je saisis pas le pb avec F(A)\A ??

f(A)\A=[c,d]\[a,b] est bornée mais pas forcément fermé

Ah bon ? C'est ou bien un segment ou bien l'union de deux segments. Pourquoi c'est pas fermé ??