diviseurs !!

pr tt naturel non nul n, on note p(n) le produit de tous les diviseurs de n.
montrer que si p(m) = p(n) alors m = n

Lemme :
n = ¶ pi^ai
p(n) = n^{t(n)/2}
avec t(n) = nombre de diviseurs = ¶ (1+ai)

On écrit
n = d1 * d2
n = d3 * d4
.... toutes les combinaisons possibles de diviseurs de n
On mutiplie tout ça. Ca fait n^{t(n)} = p(n)^2


n^{t(n)} = m^{t(m)}
m et n ont donc les mêmes facteurs premiers.
n = ¶ pi^ai
m = ¶ pi^bi

A = ¶ (1+aj), B = ¶ (1+bj).

ai * A = bi * B pour tout i.
1+ai = 1+bi*B/A
A = ¶ (1+bi*B/A)
Si A > B, A < ¶ (1+bi) = B contradiction donc A=B (en inversant les rôles de A et B). et ai=bi et m = n

n et m sont formés par les meme nombre premier alors on peux supposer que:
et donc
ce qui donne


d'ou le resultat