Nombres premiers

Montrer qu'il existe une infinité de nombre premiers s'ecrivant sous la forme 4n+3 avec n dans N

Le produit de nombres de la forme 4n+1 est de la forme 4N+1 aussi.

Si p1,..,pn sont les premiers nombres premiers.
4*p3*...*pn + 3 admet un diviseur premier de la forme 4n+3 (résultat précédent) et qui est forcément différents de P1,...,pn.

Supposons qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers de la forme 4n+3.
Notons les par : q_1 <q_2 < ...< q_k.
et considérant le nombre , de même forme : N = 4q_1q_2...q_k -1= 4(q_1q_2 ... q_k -1)+3

Si N est premier , alors on a touvé un nombre premier de la forme 4n+3 plus grand que q_k et on obtient une contradiction.
Si N est composé, alors N ne peut pas être le produit de seulement des nombres premiers de la forme 4n+1
( car N serait aussi de la forme 4n+1 ).
Il existe donc un nombre premier q de la forme 4n+3 qui divise N.
Or si q était égal à un des q_i on auraut que q|1 donc q>q_k
donc une contradiction