Je me lance .... (' = ^{-1} par commodité)
1) Une matrice A de M_n(C) est nilpotente ssi A^n = 0
f : X -> X^n est une fonction continue sur M_n(C), { 0_n } est un fermé et N = f'({ 0_n }) est donc fermé comme image réciproque d'un fermé par une application continue.
2) M € N, on peut écrire M = P T P' avec T strictement triangulaire supérieure (ie triangulaire + diagonale nulle).
Alors U_n = M + 1/n * I_n = P (T+1/n * I_n) P' n'est pas nilpotente (par ex. elle a une vp non nulle) et U_n -> M.
3) Si M est nilpotente U_n = (1+1/n) * M est aussi nilpotente, différente de M, et U_n -> M
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