integrale

calculer (0∫1)ln(x+1)/x dx

intégration par partie !!

f(x)=ln(x+1) et g'(x)=1/x

essaye et tu va voir

voila dear Kalm ^^

et pour plus d informations ;

http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm

http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm

tu doit savoir que ta rien prouver

ce n'est pas dur de demontrer ce resultat non plus :
c'est juste le fait que la derivée d une polylogarithm est une fonction polylogarithm :
on assume que:


ou Z et S sont des complexes avec  |Z|<1  (ici on a des entiers positifs donc s=n)

on a :

donc :

pour n=2



d'ou :


consulter :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_polylogarithme

awdi layhdik

memath a écrit:

voila dear Kalm ^^

et pour plus d informations ;

http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm

http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm

Ache hadchi ^^

cet integral est pour les Terminal ou nn ? parceque je 'allé pas perdre mon temps à chercher comme un bidon ??!

erf ln(x+1)/x n'est pas continu en 0 alors on parle pas d'intégral cé hord programm ^^

tu peut la resoudre avec le programme il faut juste bien utiliser le cour

Si l'interval est [1/2,1] cé calculable :
suffit de voir que : ln(x+1)/x=ln(x).ln'(x)+1/x.ln(1+1/x).
I=ln(x).ln'(x) et J=1/x.ln(1+1/x)
un pti changement de variable pour calculé J : t=1/x puis integration par partie.

une indication :calculer (0∫1/2)arctan(1/2rac(1-u²))/rac(1-u²)du

Changement de variable : t=u+racin(1-u²) ??

essaye

enfaite je pose : t=racin(1-u²)
on aura alors : INETG(1 à {1-racin(2)}/2 ) Arctan(1/2x)/racin(1-x²) dx
puis un autre chagngement de variable 1/2x = tanv

encore essaye de terminer la demo stp

lol enfaite je fait pas une demo je lance seulement des idées ^^

chuf nta ga3 trouve la primitive de : Arctan(1/2x)/racin(1-x²)

c normale , changer l variable meme mille fois c rien par fois

Nea® a écrit:

chuf nta ga3 trouve la primitive de : Arctan(1/2x)/racin(1-x²)

tu va l'avoir a la fin ghir sbr

chouf à 6 h je te réponderai wa9ila 3erfet mnin ndouz liha kanchem chi ln ( x+racin(1-x²))

tres bien memath

d'abord on va ecrire ln(x+1) sous forme de polynome
donc f(x)=ln(x+1)=a_0+a_1x+a_2x²+...+a_nx^n+...( car ln est derivable une infinité de fois) ,(ln(x+1))^(n)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(x+1)^n
f'(x)=a_1+2a_2x+....
f"(x)=2a_2+3*2a_3x+.....
..............
f^(n)(x)=n!a_n+....
donc qlq n de IN a_n=(-1)^(n-1)/n (pour x=0)
donc ln(x+1)=(n=1∑+00)(-1)^(n-1)x^n/n
donc (0∫1)ln(x+1)/xdx= (0∫1)(n=1∑+00)(-1)^(n-1)x^(n-1)/ndx
=(n=1∑+00)(-1)^(n-1)(0∫1)x^(n-1)/ndx
=(n=1∑+00)(-1)^(n-1)/n²
=(n=1∑+00)(-1)^(2n-1)/(2n)²+(n=1∑+00)(-1)^(2n)/(2n+1)² (separé les paires et les impaires)
=-1/4(n=1∑+00)1/n²+(n=1∑+00)1/(2n+1)²
=-1/4(n=1∑+00)1/n²+[(n=1∑+00)1/n²-(n=1∑+00)1/(2n)²]
=1/2(n=1∑+00)1/n²
=1/2(n=1∑+00)(0∫1)(0∫1)(xy)^(n-1)dxdy
=1/2(0∫1)(0∫1)(n=1∑+00)(xy)^(n-1)dxdy
=1/2(0∫1)(0∫1)lim(p->+00)(n=1∑p)(xy)^(n-1)dxdy
=1/2(0∫1)(0∫1)lim(p->+00)[(1-(xy)^p)/(1-xy)dxdy
=1/2(0∫1)(0∫1)dxdy/(1-xy) car xy<1donc lim (xy)^p=0
par changement de variable (x,y)=(u-v,u+v) on a
(0∫1)dx/(1-xy)=(-u∫1-u)dv/(1-u²+v²)=1/rac(1-u²)*[arctan(u/rac(1-u²))+arctan((1-u)/rac(1-u²))]
donc 1/2(0∫1)(0∫1)dxdy/(1-xy)=1/2(0∫1)1/rac(1-u²)*[arctan(u/rac(1-u²))]du+1/2(0∫1)1/rac(1-u²)*[arctan((1-u)/rac(1-u²))]du
=1/2(0∫1)arxsinu/rac(1-u²)du+1/2(0∫1)(π/4-arcsin(u)/2)/rac(1-u²)du
car arctan((1-u)/rac(1-u²))=π/4-arcsin(u)/2 et arcsin(u)=arctan(u/rac(1-u²)) donc
1/2(0∫1)(0∫1)dxdy/(1-xy)=π²/12 ( c'est facile maintenant de la prouver )