Bonjour,j'ai besoin d'aide pour un exercice peu évident sur les polynômes.Merci de m'aider.
Soit f l'application qui va de R[X] vers R[X]telle que f(P)=(2X+1)P-(X²-1)P'.E=R[X]est l'espace vectoriel des polynomes réels.
1)a)Montrer que f est un endomorphisme de E.
b)Calculer f(1);f(X) et f(X²).
c)En déduire que pour tout polynome P réel de degré inférieur ou égal à 2,f(P) est aussi de degré inférieur ou égal à 2.
2)Soit U=(X-1)²,V=(X+1)² et W=X²-1
déterminer f(U),f(V) et f(W)puis monter que la famille (U,V,W) est libre.
3)On suppose qu'il existe B polynôme réel non nul et un réel Y tel que f(B)=YB.
a) Justifier que deg(B)=2.
b)On se place dans le cas où Y EST Different de -1 et Y different de 3.Prouver que B est divisible par X²-1 et que Y=1.
c)On se place dans le cas où Y=3.Monter que -1 est racine de B.
Soit k l'ordre de multiplicite de la racine -1;
il existe donc 1 polynôme A tel que:B=(X+1)^k.A(-1)#0.Prouver que k=2.
4)Prouver alors que Kerf(f-3Ide)=Vect((X+1)²)
Merci de m'aider.
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car c'est parfaitement clair.