minimum

soit a, b et c des réels strictement positifs.
montrer que :
min[(a-b)²,(b-c)²,(c-a)²) est inferieur à (a²+b²+c²)/5

callo a écrit:

soit a, b et c des réels strictement positifs.
montrer que :
min[(a-b)²,(b-c)²,(c-a)²) est inferieur à (a²+b²+c²)/5

Bonsoir,
la symetrie de role ns permet de supposer que a>=b>=c
il est facile de vérifier que le cote gauche = min((a-b)^2,(b-c)^2)
mais (a-b)^2-(b-c)^2=(a-c)(a+c-2b)

si a+c>=2b: alors min ((a-b)^2,(a-c)^2)= (b-c)^2
alors l'inégalité équivaut à : a^2-4b^2-4c^2+10bc>=0
puisque a>=2b-c , <=> (2b-c)^2-4b^2-4c^2+10bc >=0 <=> 3c(2b-c)>=0 ce qui est clairement vrai puisque a>=b>=c
si a+c<=2b alors min( (a-b)^2,(b-c)^2)=(a-b)^2
donc l'inég équivaut à: f(b)=-4a^2-4b^2+c^2+10ba>=0
or f(b)'=10a-8b>0 , alors f est croissante et puisque b>=(a+c)/2
f(b)>= f((a+c)/2 )=3ac>=0 ,CQFD
EDIT : J'ai fait Hier quelques erreurs de frappe,car J'avais sommeil , c'est réglé maintenant

bonjour;

supposons (a-b)^2 est le min donc a-b est infér à b-c et à c-a

ce qui donne à la fin a est infér à b.

d'une autre coté (a-b)^2 est infér à (a^2+b^2+c^2)/5 est équivalent à (sans passer par les calculs) ab est supér à 2(a-b)^2

donc on doit démontrer que si a est infér à b; ab est supér à 2(a-b)^2(la démonstration est facile).

et c la méme méthode pour (c-a)^2 et (b-c)^2.

on attendant votre intérventions.

aucune réponse??