inégalité avec des intégrals

montrer que pour tout x apparetenant à:

on a:

déduire que:

sin est une fonxtion moaka3ara en [0;pi/2]

pour tt a et b positive a+b=1 ==> que soit x;y de [0;pi/2] sin(ax+by)>=asinx+bsiny

sin((2x/pi)*(pi/2)+(1-2x/pi)*0>=2x/pi*sin(pi/2)+(1-2x/pi)*sin0

===> sin(x)>2x/pi

on etude h(x)=sinx-x===> sinx<x

2) f(x)=pi*sinx/(x*(pi-x))

2/(PI-x)<=pi*sinx/((pi-x)x)<pi/(pi-x)

2[-ln(pi-x)]<int(f(x))<pi*[-ln(pi-x)] de 1/n->pi/2

et on deduit

mohamed_01_01 a écrit:

sin est une fonxtion moaka3ara en [0;pi/2]

pour tt a et b positive a+b=1 ==> que soit x;y de [0;pi/2] sin(ax+by)>=asinx+bsiny

sin((2x/pi)*(pi/2)+(1-2x/pi)*0>=2x/pi*sin(pi/2)+(1-2x/pi)*sin0

===> sin(x)>2x/pi

on etude h(x)=sinx-x===> sinx<x

2) f(x)=pi*sinx/(x*(pi-x))

2/(PI-x)<=pi*sinx/((pi-x)x)<pi/(pi-x)

2[-ln(pi-x)]<int(f(x))<pi*[-ln(pi-x)] de 1/n->pi/2

et on deduit

sans etudier h d'apres la concavité de sin la fonction est toujours au dessous de ses tangentes en particulier pour la tangente passant par l'origine qui a pour equation y=x d'ou sin(x)<=x pour x de [0,pi/2]

Les deux réponses se complètent.
Ainsi on peut donner des valeurs approchées de Si(Pi) [l'integralle précedente mais ayant comme borne 0 et Pi/2]

Juste, une petite faveur Radouane. Tu peux me communiquer le logiciel que tu utilises pour ECRIRE MATHS. Merci.[/img]