trois fonctions à trouver.

déterminer toutes les fonctions f,g et h :IR--IR vérifiant l'équation:
f(x+y)+g(x-y)=2h(x)+2h(y)

Bon alors je me lance car je suis bloqué :

dans l'équation, on fait x=y et on obtient :

h(x) = 1/4 . f(2x) + 1/4 . g(0)

Je reporte dans l'équation et on a :

f(x+y) + g(x-y) = 1/2 . ( f(2x) + f(2y) ) + g(0)

j'effectue le changement de variable X=x+y et Y= x-y et on trouve :

f(X) + g(Y) = 1/2 . ( f(X+Y) + f(X-Y) ) + g(0)

puis je fais X=0 et on trouve

g(Y) = 1/2 ( f(Y) + f(-Y) ) + g(0) - f(0)

Bon je réinjecte le tout dans l'équation de départ et on a :

f(x+y) + 1/2 ( f(x-y) + f(y-x) ) = 1/2 ( f(2x) + f(2y) ) + f(0)

bon je prend x=y=0 et on trouve f(0)=0
Ensuite, je prend y=0 et on obtient :

3f(x) + f(-x) = f(2x)

il reste à trouver les fonctions f qui vérifient ca... déjà les x-->ax sont solutions. Sont-elles les seules?

bon ensuite je pose u(x) = f(x) + f(-x) je voudrait montrer que u= 0
avec l'équation je trouve :

u(2x) = 4u(x) et u(0) = 0 et la je suis bloqué

si u = 0 comme je l'espère alors f est impaire et on est amené à résoudre les f tel que f(2x) = 2f(x)...à suivre

Bon, je cherche tout d'abord des solutions polynomiales :

u(2x) = 4u(x) entraîne pour un polynôme u = sum(a_i.x^i) que

2^n.a_n = 4a_n et comme a_n non nul, il vient n=2 unique solution
Réciproquement, je trouve que les polynôme u= aX² sont solutions du problème.

Bon ensuite je reporte dasn l'équation précedente :

2f(x) + ax² = f(2x) avec la condition f(0) = 0

pareil, je cherche des solutions polynomiales :

si a= 0, alors le même raisonnement donne les solutions de la forme f=f(1)x
si a est non nul le même raisonnement donne les solutions de la forme
f= 2f(1)/3. ( x²/2 + x)

réciproquement ces polynômes sont solutions de l'équation de départ

f = f(1)x g = g(0) h = f(1)x/2 + g(0)

f = 2f(1)/3. ( x²/2 + x) g = f(1)x²/3 + g(0) h = 2f(1)/3. ( x² + x) +g(0)/4

bon PELIKANO,je vais m'inspiré de ta solution pour faire la mienne.

mon idée consiste à trouver h et f en fonction de h.

on fait x=y dans l'équation et on pose g(0)=a.

il vient en remplaçons ds l'équation:

f(2x)=4h(x)-a.

maintenant on fait y=0 et on pose h(0)=b,ce qui donne:

g(x)=2h(x)+2b-4h(x/2)+a.

on remplace à ce moment f et g par leur expression dans l'équation:

2(h((x+y)/2)+h((x-y)/2))+h(x-y)=h(x)+h(y).

soit H(x)=h(x)-b
pour abréger un peu l'écriture on va utiliser un truc trés utile et efficace.

on sait d'avance que l'ensemble des fonctions paires et impaires sont

supplémentaire,on pose donc H(x)=i(x)+p(x) telles que i est impaire et p

est paire.

il vient donc en remplaçons:

2(p((x+y)/2)+p((x-y)/2))+p(x-y)=p(x)+p(y).

en fait -y et on utlise p(y)=p(-y).

on obtient:

p(x+y)-p(x-y)=2p(x)+2p(y).

ça ressemble bien à l'équation de CAUCHY,par une récurrence simple on

montre que p(x)=rx² pour tout x£Q et vu que f est continue alors f(x)=rx²

pour r£IR.

dans l'autre cas,ie pour i on obtient en suivant la mème démarche de p:

i(x+y)+(x-y)=2i(x) ==>c''est l'équation de CAUCHY qui donne donc i(x)=sx

pour s£IR.

par suite h(x)=rx²+sx+b.

il ne reste que remplacer h par son expression dans celle de f et g pour

obtenir:

f(x)=rx²+2sx+4b-a et g(x)=rx²+a.

CQFD.

Bien vu

il semble que ma solution est fausse car i n'est pas obligatoirement continue...ben peut étre y'a une autre condition qu'on peut vérifier pour pouvoir conclure i(x)=sx et p(x)=rx²...car c'est pas seule la continuité qui permer ce passage de Q à IR..