2 exos que je n'ai pas reussi et resoudre

ca fait 2 joursque j'essai desesperemment resoudre ces deux exercices portant sur les limites et continuites : j'aimerais bien avoir une demonstration de la solution merci !


1* f est une fonction definie de [a,b] à [a,b] tel que :
(pr tout (x,t)£[a,b]² ) |f(x)-f(t)|<|x-t|.

* demontrez que f est continue sur [a,b] . (j'ai essayé avec la definition des limites ais je me suis vite perdu)

2* f et g 2 fonctions de [0,1] à [0,1] tel que f et g sont continues sur [0,1]
on suppose que f0g(x)=g0f(x) .

*demontrez qu 'il esiste k£[0,1] f(k)=g(k) (j'ai essayé avec le theoreme des valeurs moyennes ) merci de votre aide sur n'importe quel exo

_Bigbobcarter_ a écrit:

..........
1) f est une fonction definie de [a,b] à [a,b] tel que :
(pr tout (x,t)£[a,b]² ) |f(x)-f(t)|<|x-t|.

Démontrez que f est continue sur [a,b] . (j'ai essayé avec la definition des limites ais je me suis vite perdu)..........

BJR !!
12 Jours , c'est un peu trop !!!!
Tu as là le cas le plus facile de CONTINUITE car on a mis tout ce qu'il faut pour que celà marche !!!!
Prends donc un point quelconque x0 dans [a;b]

Pour tout EPS > 0 , il faut trouver un ETA >0 tel que si
x est dans [a;b] vérifie |x-x0| < ETA alors on doit avoir
|f(x)-f(x0)| < EPS ????

Eh bien puisque |f(x)-f(x0)| < |x-x0| par hypothèse alors
il suffit de choisir ETA = EPS ci dessus et la définition sera SATISFAITE !!!

Si l'utilisation de la définition de la continuité en un point te semble rébarbative et que tu préfères autre chose de plus SIMPLE , alors tu peux opérer ainsi :
Pour tout point x0 donné dans [a;b] et fixé on peut écrire :
|f(x)-f(x0)| < |x-x0| pour tout x dans [a;b]
ce qui veut dire f(x0)-|x-x0| < f(x) < f(x0)+|x-x0|
Maintenant , tu fais tendre x vers x0 et tu utilises le Théorème des Gendarmes , tu pourras alors écrire :
f(x0)- Lim|x-x0| <=Limf(x) <=f(x0)+Lim|x-x0|
Comme Lim|x-x0|=0 alors Limf(x)=f(x0) quand x------>x0

Bonne Découverte !!!

Citation :

12 Jours , c'est un peu trop !!!!

tout d'abrd merci de ta reponse (2 jours) c'est parceque je ne travaille pas decu longtemps ! je passe a un autre exo apres 1 ou 2 minutes de reflexion ! :
merci pour ta reponse une autre fois !