exo difficile:urgent

slt je me suis bloque dans ces deux exercises exercice 65 page 42 et l'exercise 92 page 44 de lmoufid
pour le premier j'ai trouve que f(x)=x

merci d'avance

Les énoncés?

pour 92
f fonction continue et positive sur R+ et limf(x)/x (quand x tend vers+l'infini ) =1
demontrez que l' equation f(x)=x accepte au moins une solution dans R+

et pour 65
trouve toutes les fonctions continues sur IR

f(2009)=2009^2008
et quelque soit (x,t) dans IR f(x+t)=f(x)+f(t)

pour 92
lenonce est incorrect il faut lim+00f(x)/x<1

Spoiler:

porquoi

je crois que cette exercice est déja posté
et la correction d'exo il faut que limf(x)/x <1
je vais bien expliquer pourquoi?
____________________________________________
lahoucine

bon vouis avez raison limf(x)/x <1
si c le cas alors je vais mettre la solution

salut l'explication:
on pose f(x)=x+1 il est clair que lim(x->+00) f(x)/x =1 et f continue et positive sur IR+ mais f n'admet pas au solution sur IR+
______________________________________________________________
lahoucine

dabord on pose f(x)/x = g(x)
lim g(x) < 1 (3 = epsillon)
x->+00
donc (V 3 >0)(E alpha >0) (Vx$ dg) x>apha => abs(gx-1)<3
donc gx < 3 + 1 alors gx < 0
donc g(A)<0 et on a g(0)> 0
donc TVI on conclue que .............

ok j'ai compris donc pour resoudre cet exercise je dois changer 1 par un nombre<1 c'est ca

et pour l'exercice 65 y a t il d'auttres fonctions que f(x)=x

et pour l'exercice 65 y a t il d'auttres fonctions que f(x)=x

NN tu dois suposser quil existe wahad lmajal [A,+00[ bihayt gx<0
et tu peux la demontrer on utilisant lim g(x) < 1 comment je vien de fair

pour l'autre exo il est facile de montrer que:
f(x+t)=f(x)+f(t) et f(2009)=2009^2008 => f(x)=(2009^2007) x .
___________________________________________________
lahoucine

peu tu indiké la méthode mathema stp

BSR à Toutes et Tous !!

L'Exo 92 Page 44 a déjà été posté ICI :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/un-exo-very-hard-sur-le-tvi-extrait-d-al-moufid-t9744.htm#83247

ou voir directement la Soluce de SAMIR ici :

https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/l-equation-fx-x-admet-une-solution-t44.htm

Salut miriam:):
on a:
f(x+t)= f(x)+f(t)
f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0) => f(0)=0.
on pose t=ax avec a£IR alors:
f((a+1)x)=f(ax+x)=f(ax)+f(x)=f((a-1)x)+f(x)+f(x)=... =(a+1)*f(x).
alors: f(ax)=af(x).
*) donc supposons que f est derivable en point x:
alors on aura:
(f(x+h)-f(x))/h= f(h)/h (car f(x+h)=f(x)+f(h))
=> lim(h-->0) (f(x+h)-f(x))/h=f'(x)=lim(h-->0)f(h)/h =f'(0)
=> f'(x)=f'(0) donc f' est constante et f'=f'(0).
donc la primitive de f' est f avec f(x)= f'(0)*x.
alors f'(0)=f(1).(on pose x=1).
alors f(x)=f(1)*x.
on pose donc f(1)=b£IR*.
alors f(x)=bx (b£IR*).
*) si f n'est pas derivable au x alors f ne doit pas etre derivable en 0.
alors on sait que f est continue sur IR alors elle est continue à 0 ( facile à montrer).
pr tt e>0 il existe n>0 tel que: |x| |f(x)| |f(x)/x| < e/|x| (//) on a |x|>0 alors 1/|x| |f(x)/x|< e/A < e (car e/A 0 tel que: |x| |f(x)/x|< e .
donc f est derivable au 0.
car |f(x)/x - l|

car |f(x)/x -l|< |f(x)/x|+|l| < e+|l| <µ (avec µ<e+|l|)
alors f est derivable au 0.
CONCLUSION:
f(x)=bx.
et on a:
f(2009)=2009^2008 = b*2009 => b=(2009^2008)/2009=> b=2009^2007.
_______________________________________________________________
LAHOUCINE
@++

mathema a écrit:

Salut miriam:):
on a:
f(x+t)= f(x)+f(t)
f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0) => f(0)=0.
on pose t=ax avec a£IR alors:
f((a+1)x)=f(ax+x)=f(ax)+f(x)=f((a-1)x)+f(x)+f(x)=... =(a+1)*f(x).
alors: f(ax)=af(x).
*) donc supposons que f est derivable en point x:
alors on aura:
(f(x+h)-f(x))/h= f(h)/h (car f(x+h)=f(x)+f(h))
=> lim(h-->0) (f(x+h)-f(x))/h=f'(x)=lim(h-->0)f(h)/h =f'(0)
=> f'(x)=f'(0) donc f' est constante et f'=f'(0).
donc la primitive de f' est f avec f(x)= f'(0)*x.
alors f'(0)=f(1).(on pose x=1).
alors f(x)=f(1)*x.
on pose donc f(1)=b£IR*.
alors f(x)=bx (b£IR*).
*) si f n'est pas derivable au x alors f ne doit pas etre derivable en 0.
alors on sait que f est continue sur IR alors elle est continue à 0 ( facile à montrer).
pr tt e>0 il existe n>0 tel que: |x| |f(x)| |f(x)/x| < e/|x| (//) on a |x|>0 alors 1/|x| |f(x)/x|< e/A < e (car e/A 0 tel que: |x| |f(x)/x|< e .
donc f est derivable au 0.
car |f(x)/x - l|

stp je n'ai pas compris
tu pouvais pas t'arreter sur ce qui est en rouge et dire que f est lineaire doncfx=u*x et comme f(2009)=2009^2008 alors u=2009^2007 doncfx=2009^2007*x sauf erreur

mais mathema on a pas encore fait les fonction primitives (dawal aslya ) !!

f :R --> R et f(x+t)=f(x)+f(t)

on a f(0)=0 et pour t=-x on a f(-x)=-f(x) donc f est impair.

on a aussi par reccurence f(x)=ax pour tt x de N , et par impairité pr tt x de Z on a : f(x)=ax

on peut aussi montrer par reccurence que f(ax)=af(x)

donc pour tt p et q de Z*N(*) on a :

ap=f(p)=f(q*p/q)=qf(p/q)

donc f(p/q)=a*(p/q) donc pour tt x de Q on a f(x)=ax.

on utilise la continuité de f pour arriver a : pr tt x de R f(x)=ax

on peut utiliser la fait que Q est dense dans R donc :

soit X_n une suite de rationel qui converge vers x.

on a

lim f(X_n)=lim a*X_n=ax

mais par continuité de f on a : lim f(X_n)=f(x)

donc f(x)=ax pr tt x de R

la deuxieme condition nous donne :

f(2009)=a*2009=(2009)^2008

donc a=2009^2007

donc f(x)=(2009^2007)x

salut memath
c'est pas difficile de montrer que f(x+t)=f(x)+f(x) et f(2009)=2009^2008 => f(x)=(2009^2007)*x
mais la difficilte monquante en comment montrer que f(ax)=x.
_____________________________________________________
lahoucine
@++

_Bigbobcarter_ a écrit:

mais mathema on a pas encore fait les fonction primitives (dawal aslya ) !!

Excuse moi mon ami mais c'est pas une tres difficile car il est clair que si f(x)=ax alors f'(x)=a.

mathema a écrit:

salut memath
c'est pas difficile de montrer que f(x+t)=f(x)+f(x) et f(2009)=2009^2008 => f(x)=(2009^2007)*x
mais la difficilte monquante en comment montrer que f(ax)=x.
_____________________________________________________
lahoucine
@++

f(ax=)x ???