Produit scalaire1

Salut ! je suis de retour
Et pour vous, collègues TC, je vous propose un exercice (bonne chance)

Soit (C) un cercle de centre o et de rayon r.
A; B et C £ (C) t el que ABC est un triangle non équilatéral.
G est le centre de gravitation de ABC.
On pose BC = a AB =c AC = b et 2p = a+b+c .

1-a Démontrer que OA.OB + OB.OC + OC.OA = 3r² -1/2 (a²+b²+c²)
Noter bien: Oa.OB +.... est un produit scalaire
-b Conclure que OG² = r² -1/9(a²+b²+c²)

2-a Prouver que cos2A + cos2B + cos2C = 9OG²-3r²/2r²
-b Conclure que cos2A + cos2B + cos2C >-3/2

3-Supposons que b<a et b<c
Montrer que (p-b)/p>= 1/3
Réfléchissez bien, ce n'est pas assez difficile

Salut badr !
Franchement, je n'ai pas résolu le problème avec Heron, mais je vais en réfléchir.
NB : TC feu vert, les autres feu rouge
Mais vous pouvez donner des indications si vous voulez

yallah les TC ! donnez moi la réponse pour que je poste un autre

Voulez-vous que je poste la réponse ?

Patience...

D'accord, j'ai cru seulement que personne ne veut y réfléchir

merci relena !

Derien et bonne chance !!

Bonjour !
L'exo figure dans mon manuel Firi7ab, c'est le dernier exercice du Produit Scalaire.
Si ma réponse est juste, vous allez etre besoin de réviser les leçons du collège.

salut désolé pour le retard je n'avais pas vu l'exo avant
bon espérons que mes réponses seront justes
voici une figure:


N.B:AB* veut AB vecteur
1)a]on a selon la relation de Al Kashi
c²=OA²+OB²-2OA*.OB*
b²=OA²+OC²-2OA*.OB*
a²=OB²+OC²-2OB*.OC*
en sommant les trois équations on aura
a²+b²+c²=OA²+OB²-2OA*.OB*+OA²+OC²-2OA*.OB*+OB²+OC²-2OB*.OC*
et OA=OB=OC=r
2(OA*.OB*+OC*.OB*+OA*.OC*)=6r²-(a²+b²+c²)
OA*.OB*+OC*.OB*+OA*.OC*=3r²-1/2(a²+b²+c²)
1)b]
OG*=OA*+AG*
OG*=OB*+BG*
OG*=OC*+CG*
ce qui donne 3OG*=OA*+OB*+OC*+AG*+BG*+CG*
et AG*+BG*+CG*=0*
3OG*=OA*+OB*+OC* donc (3OG*)²=(OA*+OB*+OC*)²
9OG*²=OA²+OB²+OC²+2(OA*.OB*+OC*.OB*+OA*.OC*)
9OG*²=3r²+2(3r²-1/2(a²+b²+c²))
9OG*²=9r²-(a²+b²+c²)
OG*²=r²-1/9(a²+b²+c²)

2)a] on (A,B,C)£(C) et O le centre de (C)
donc 2A=BOC et 2B=AOC et 2C=AOB
ce qui cos2A=(OB²+OC²-a²)/2OB.OC=(2r²-a²)/2r²
cos2B=(OA²+OC²-b²)/2OA.OC=(2r²-b²)/2r²
cos2C=(OA²+OB²-c²)/2OA.OB=(2r²-c²)/2r²
en sommant on a cela
cos2A+cos2B+cos2C=6r²-(a²+b²+c²)/2r²
cos2A+cos2B+cos2C=9r²-(a²+b²+c²)-3r²=9OG²-3r²/2r²

désolé je vais terminer aprés j'ai pas eu le tempes de tout recopier je le ferais plus tard

Bonjour huntersoul (dsl pour le retard) !
je ne suis pas à la hauteur de corriger ta réponse, mais je sais que c'est 100% juste.
On a besoin de l'affirmation de Mr. Bourbaki.
Je posterai ma sollution ultérieurement, elle est différente et j'espère qu'elle juste

@ MejorAmigo !!! Tous mes compliments pour ta récente promotion !!!!
@ Tous les Autres :
Demandez donc à MejorAmigo , il vient de passer
<<Expert Supérieur >> .
Pour le moment je suis Out of Service .
LHASSANE

o non lol on pourra jamais s'en passer de toi ! impossible !
et en + mejoramigo quoi qu'il soit y pourra jamais se mesurer à vous ! ^^
et merci pour vos compliments !

Bonjour ! voilà ma réponse ( c'est preque la meme chose)

1-a OA.OB + OB.OC + OC.OA = 1/2 (OA²+OB²-AB²) + 1/2 (OB²+OC²-BC²) + 1/2 (OC²+OA²-AC²)
Après dev et fac on trouve :
OA.OB + OB.OC + OC.OA = 3r² -1/2 (a²+b²+c²)

-b G est le centre de gravitation de ABC, donc AG+BG+CG = 0 (vecteurs)
AO+OG+BO+OG+CO+OG = 0
3OG = OA + OB + OC
OG² = (vecOG)² = [1/3 (OA+OB+OC)]²
Après dev et calculs on a
OG² = R² -1/9 (a²+b²+c²)

2-a OA.OB = OA*OB*cos2c
OB.OC = OB*OC*cos2A
OC.OA = OC*OA*cos2C
d'où OA.OA+OB.OC+OC.OA = R² (cos2A + cos2B + cos2C)
D'après la question 1 on a :
R² (cos2A+cos2B+cos2C) = 3R²-1/2 (a²+b²+c²)
Après simplification on obtient :
cos2A+cos2B+cos2C = 9OG²-3r²/2r²

-b On sait que 9Og²/2R² > 0
or : 9OG²/2R² - 3/2 > -3/2
d'où cos2A +cos2B + cos2C >-3/2

3-On fait seulement la soustraction avec b

bien joueé relena

bien joué relena

merci