Olympiades nationales 2007 DEV2-EX2 [Terminale]

j'ai consideré une fonction f(x)=sin(cosx)+cos(sinx) . f est paire et periodique de periode 2pi. jai demontrer que f est decroissante sur [0,pi/2] donc la valeur maximale sur cet intervalle là est f(0) , puis jai demontrer que pour tout x de [pi/2,pi] f(x)<1<1+sin1=f(0) , donc f(0) est maximale sur [0,pi] , puis on generalise à partire de la parité
mon raisonement

et comment démontrer que f est décroissante sur(0,pi/2) et que dans (pi/2,pi) f(x)<1?(j'ai pas fait cet exercice!!

la réponse s'il vous plait!

zn utlisiant la definition : x<y --> f(x)>f(y) ......

mais la définition ne donne rien dans l'intervale (pi/2,p)?

amine2007 a écrit:

mais la définition ne donne rien dans l'intervale (pi/2,p)?

oui mais dans cet inervalle là je n'ai pas etudié la monotonie de f mais j'ai demnter qu'elle est majorée: commence par x appartient à [pi/2 ; pi] et encadre f(x), tu vas trouver que f(x)<1 et on sait que 1<(f(0) ...

wéwé..trés bien.merci

Noton f(x) = sin(cos x) f est périodique de période 2п et paire. Il suffit alors de trouver sa valeur maximale sur [0, п].

Soit x £ [0, п] on a : -п/2 < -1 ≤ cos x ≤ 1 < п/2 et sin est croissante sur [-п/2, п/2]

donc sin(cosx) ≤ sin(1) , or cos(sin) ≤ 1 . Donc f(x) ≤ 1+sin(1)=f(0) ce qui montre que la valeur maximale de sin(cos x)+cos(sin x) est 1+sin(1)

ou bien en utilisons f'(x)