Olympiades nationales 2007 DEV1-EX4 [Terminale]

sont des réels strictement positifs tels que
démontrer que :

tu prouves que le membre de gauche de l inegalité est inferieur a n/2 en utilisant l identité remarquable a^2+1 sup ou= 2*a et tu prouves apres que le membre de droit de l inegalité est sup ou= n/2 en utilisant IAG deux fois et en se servant da la condition a_1+ a_2+....+a_n=n

j'ai fait la premiere partie mais j'ai pas eu le temps pour contiinuer , c bien dommage

le symbole & veut dire somme de 1 jusqu a n
par l ingalié 2x<=x²+1 la partie gauche est inférieur à n/2
par l inégalité de cauchy schawrtz l 'ingalité droite est supérier à n/2 , pour le voir :
(& 1/(a+1) ) (& a+1 ) >=n²
& 1/(a+1)*(2n)>=n²
d ou & 1/(a+1)>n/2

aussi, l inegalité de tshebyshev repond facilment au probleme.

au test j'ai repondu de la meme methode redigé par vietnam2007tu prouves que le membre de gauche de l inegalité est inferieur a n/2 en utilisant l identité remarquable a^2+1 sup ou= 2*a et tu prouves apres que le membre de droit de l inegalité est sup ou= n/2 en utilisant IAG deux fois et en se servant da la condition a_1+ a_2+....+a_n=n

bienvenue aannoouuarr

de façon similaire, on pose g(x)=x/(x²+1)
g est concave d ou d après l inégalité de jensen
g(a1)+g(a2)+...+g(an)<=ng((a1+a2+...+an)/n)=ng(1)=n/2

ce qu il fallait démontrer

mais la fonction g n'est pas concave sur R+

j ai pas calculer g" , j ai passé juste par la forme de g (croissante décroissante )...je croi que t as raison

c tré tré facile si on utilise l inigalité de SHEBYCHEV