olympiades nationales 2002..important.

x,y,z trois réels strictements positifs tels que x+y+z=1
montrer que :
1/2<x^3/(x^2+y^2)+y^3/(y^2+z^2)+z^3/(z^2+x^2)

facile!
x^3/(x^2+y^2)=x-xy^2/(x^2+y^2)>=x-(y/2)
Le résultat s'obtient en sommant.

on sait que: x²+y²>=2xy
alors: x^3/x²+y² + y^3/y²+z² + z^3/z²+x² >=x^3/2xy+y^3/2yz+y^3/2zx=1/2(x²/y+y²/z+z²/x)
et en appliquant le reordonnement : x²/y+y²/z+z²/x>=x²/x+y²/y+z²/z=x+y+z=1
conclusion: x^3/x²+y² + y^3/y²+z² + z^3/z²+x² >= 1/2

pour anouar :
sache que 1/1000 < 1/10 meme si 1000>10

OOHHHH... merde g comi une tré grande faute ...oui ta reson