spécial olympiades nationales avril2006

trouver toutes les fonctions de R vers R tel que:
f(x)=f(x^2+1/4)

Voici une solution parteille . Je suppose que f est continue!
On pose pour x dans IR, x_0=x et x_(n+1)=(x_n)²+1/4 (n>=0).
On a f(x_0)=f(x_1)=...=f(x_n).

|x_(n+1)-1/2|=|(x_n)²-1/4|=|x_n-1/2||x_n+1/2|

si |x|<1/2, x_n -->1/2 et f(x)=f(1/2)
si |x|>1/2, (x_n) n'est pas bornée.

bonjour,

voila ma solution :

-f est croissante => f(0)<f(1/4) ce qui est absurde .

-f est decroissante => [ x>0 => f(x) < f(-x) ] ce qui est absurde .

ainsi on conclut que f est une fonction constante .

Je ne comprends pas la réponse de toetoe : il existe d'autres fonctions que les croissantes et décroissantes.....

En revanche, abdelbaki y était presque, et je reprends son argument (d'une autre façon) pour donner la preuve complète, dans le cas où f est CONTINUE.

La fonction est paire : étude donc sur [0, + inf.[

La fonction g:[0,1/2]----->[0,1/2] qui à x associe x^2+1/4 est contractante car pour x < 1/2 on a |g'(x)|< 1. Donc pour tout x dans [0,1/2] la suite définie par x_0=x et x_n+1=g(x_n) converge vers l'unique point fixe de g, cad 1/2. Puisque f est continue, la suite f(x_n) tend vers f(1/2). Or f(x_n)=f(x) pour tout n, donc f(x)=f(1/2) ( tout ceci n'est que l'argument de abdelaki reformulé )

Ensuite, on fait exactement la même chose avec la fonction
h:[1/2,+inf[ ------> [1/2,+inf[ qui à x associe racine carré(x-1/4). On montre ainsi que pour tout x=>1/2, f(x) = f(1/2).

Conclusion finale: f est bien constante.