OLYMPIADES nationales 10/04/2009

determier toutes les fonctions de R vers R tel que
pour tout x et y : f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y

c'est l'exercice 4 de l'olympiade d'aujourd'hui , j'ai fais une tres belle solution! maintenant à ceux qui veulent s'amuser!!!

slt , j ai bien aimé ce probleme qui est à la fois simple et amusant

voici une sollution detaillée :

Probleme :
trouver toutes les fonctions de R vers r tel que :



Solution :

Partie 1 : montrer que a=f(0)=0

d abord pour x=y=0 on a f(a)=a²

pour x=0 il vient :

donc :



y=0 et x=0 --> (1)

maintenant on a :

donc :

y=a^4 --> (d apres (1))

y=a² -->

donc :

(par bijectivité de f car f(f(x))=a^2+x )

donc a=1 ou a=0

si a=1 ; f(0)=1 donc f(1)=f(f(0))=f(0)²+0=1

donc f(1)=f(0) ce qui est absurde par bijectivité de f.

donc a=0

Partie 2 : montrer que f(x)²=x²

on a donc puisque a= 0 :


et


x--> f(x) :

donc :

Partie 3 : determiner les solutions

donc on a f(x)=x ou f(x)=-x

supposons qu il existe deux reels non nuls a et b tel que f(a)=a et f(b)=-b

posons dans l equation initiale x=a et y=b on a :



donc si f(a²-b)=a²-b on a : a²-b=a²+b donc b=0

et si f(a²-b)=-a²+b on a: -a²+b=a²+b donc a=0

contradiction ; donc pour tout x de R f(x)=x ou pour tout x de R f(x)=-x

Done !

Complet, clair et efficace ! Bravo!

x=0 -> : f(f(y))=a²+y avec a=f(0)
posons y =- f ( x ) ^2 on remplace y dans l'équation
donc il y a un c tel que f ( c )= 0
puis x = c on aura
f ( f (y ) )= y
ce qui permet d'affirmer que f(0)=0.
puis termine comme mehdi qui a oublié une chose trivial mais importante la verification des solutions!
c bien mehdi!!!!pour les eleves qui n'ont pas comris un partie de la solution et son utilité  jetter un coup d'oeil sur réference / imo 2008 /iran 96/lol!!

merci mr pco c trés joli naoufal

vive les olympiens d Oujda un 42 inchallah

merci mehdi!
inchalah vers l'imo!!

dans la solution de memath:
x=y=a -> : f(a^3+a)=a²=f(a)
c 'est faux
x=y=a ->f(a^3+a²)=a^4 +a !!!

ah wi merci Rim , moi et les fautes d innatention on fait equipe

c rectifié

n.naoufal a écrit:

x=0 -> : f(f(y))=a²+y avec a=f(0)
posons y =- f ( x ) ^2 on remplace y dans l'équation
donc il y a un c tel que f ( c )= 0
puis x = c on aura
f ( f (y ) )= y
ce qui permet d'affirmer que f(0)=0.
puis termine comme mehdi qui a oublié une chose trivial mais importante la verification des solutions!
c bien mehdi!!!!pour les eleves qui n'ont pas comris un partie de la solution et son utilité  jetter un coup d'oeil sur réference / imo 2008 /iran 96/lol!!

je pense ke t'a fais une erreur puiske t'as imposé ke c = xf(x)-f(-(f(x)²))
et puis t'a pris x=c
alors comme si tu disait k'il y'a 1 x tel ke x=xf(x)-f(-(f(x)²)) ce ki doit etre justifié

c totalement juste!!!
quand x prend une valeur on la justifie pas car c'est une EQUATION après tout.comme si tu prends un x= 0.
la j'ai constaté qu'il y a une valeur ou la éq.fonc s'annule est j'ai travaillé avec!!

slt mehdi !!
je pense ke t'a refais une faute de calcul ds 1 piske sa va donner
f(a^4)=a²+ "a^3" +a nn a²+a

n.naoufal a écrit:

c totalement juste!!!
quand x prend une valeur on la justifie pas car c'est une EQUATION après tout.comme si tu prends un x= 0.
la j'ai constaté qu'il y a une valeur ou la éq.fonc s'annule est j'ai travaillé avec!!

si tu dois la justifier puiske qd t'a pris x=c t'a pris en fait x= xf(x)-f(-(f(x)²)) donc tu dois premièrement prouver ke cette equation a une solution ds R

memath a écrit:

iverson_h3 a écrit:

slt mehdi !!
je pense ke t'a refais une faute de calcul ds 1 piske sa va donner
f(a^4)=a²+ "a^3" +a nn a²+a

x=0

donc tu devra ecrire f(a²) au lieu de f(a^4) et sa reste tjrs faux

mais qu'est ce tu dis???je suis désole mais c'est du n'import quoi!!
ce point ou s'annule eq.fonctionele est comme tout autre point il est plutot une valeur.
et tant que c appartient à R donc on peut la prendre comme valeur car on a de R vers R .

n.naoufal a écrit:

mais qu'est ce tu dis???je suis désole mais c'est du n'import quoi!!
ce point ou s'annule eq.fonctionele est comme tout autre point il est plutot une valeur.
et tant que c appartient à R donc on peut la prendre comme valeur car on a de R vers R .

slt!! t'a exprimé c en fonction de x alors tu devra prouver k'il y a une valeur de x tel ke cette nouvelle fonction c=x a une sol

Bonjour à tous

n.naoufal a parfaitement raison.

La propriété est f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y et est vraie pour tout y.

Il prend y= - (f(x))^2 et obtient f(xf(x)+f(-(f(x))^2)=0, ce qui lui suffit pour affirmer qu'il existe au moins un réel c tel que f(c)=0.

Pour ceux que la présence de x dans le terme de gauche gêne, il suffit, dans la propriété initiale, de prendre x=0 et y=-(f(0))^2 et on obtient :

f(-(f(0))^2) = 0. et donc, en posant c=-(f(0))^2, on a bien f(c)=0

--
Patrick

jé trouvé une autre facon de prouver que f(0)=0

on a : f(f(x))=a²+x avec a=f(0)

donc f(a²+x)=f(f(f(x)))=f(x)+a²

x=-a² ; a=f(-a²)+a²

donc f(-a²)=a-a²

donc f(f(-a²))=f(a-a²)

mais f(f(-a²))=-a²+a²=0 donc f(a-a²)=0=f(b)

x=y=b dans l equation : f(bf(b)+f(b))=f(b)²+b

donc f(f(b))=f(0)=b dans a=b donc a-a²=a donc a=0

merci MR patrik je vs remercie de votre intervention et j'admet ke j'avaris tor , ms g trouvé ke la fonction f(x)=x+2 est aussi sol
ce ki assure k'il y a klke chose ki cloche ds ce ke n.nouafal a ecrit et g cru alors k'il n'avait ps le droit de faire unetelle substitition et j'avoue ke j'avais ps raison.
ms la fonction f(x)=x+2 reste une fonction ki verifie lé donné de l'exo alors pk ne l'a-t-on ps trouvé ?

iverson_h3 a écrit:

ms la fonction f(x)=x+2 reste une fonction ki verifie lé donné de l'exo alors pk ne l'a-t-on ps trouvé ?

Parce qu'elle ne vérifie pas les données de l'exercice :
si f(x) = x+2 :

xf(x)=x^2 + 2x
xf(x)+f(y) = x^2 + 2x + y + 2
f(xf(x)+f(y)) = x^2 + 2x + y + 4

(f(x))^2 = x^2 + 4x + 4
(f(x))^2 + y = x^2 + 4x + y + 4

et x^2 + 2x + y + 4 différent de x^2 + 4x + y + 4

et donc f(xf(x)+f(y)) différent de (f(x))^2+y

je ss vrmt dsl faute d'inatention
merci Mr patrik

memath a écrit:

jé trouvé une autre facon de prouver que f(0)=0

Si on cherche une façon rapide :

x=0 ==> f(f(y)) = y + f(0)^2 donc f bijective et il existe c tel que f(c)=0. Alors :
x=c ==> f(f(y)) = y

En comparant ces deux égalités, on a tout de suite f(0)=0

iverson_h3 a écrit:

je ss vrmt dsl faute d'inatention
merci Mr patrik

Pas de problèmes. Cela arrive à tout le monde

oui biensur , c est d ailleurs ce qu a fait naoufal

memath a écrit:

oui biensur , c est d ailleurs ce qu a fait naoufal

ohhhh. Oui, effectivement. Cela m'apprendra à ne pas tout lire avec attention.