cadeau 2006!

soient a,b et c trois reels positifs,montrer que :
(a²+2)(b²+2)(c²+2)>=9(ab+bc+ac)
voila !

Bonjour

(a²+2)(b²+2)(c²+2) >= 3(a+b+c)²
= 3(a²+b²+c²)+6(ab+bc+ac)
>= 9(ab+bc+ac)

AA+

bonjour abdelbaki.attioui
g ps compris la premiere ligne :
(a²+2)(b²+2)(c²+2) >= 3(a+b+c)²?!

Bonsoir
r c'est la fonction racine carrée
Soit A=(a, r(2),0)
B=(b,-1/r(2),r(3/2))
C=(c,-1/r(2),-r(3/2))

||OA||²=a²+2 , ||OA||²=b²+2 et ||OC||²=c²+2

A,B et C sont 3 points de IR3 euclidien. Le produit mixte de OA, OB et OC est égal au déterminant

det( OA,OB,OC)= r(3) (a+b+c) =< ||OA|| ||OB|| ||OC||

AA+

abdelbaki.attioui a écrit:

Bonsoir
r c'est la fonction racine carrée
Soit A=(a, r(2),0)
B=(b,-1/r(2),r(3/2))
C=(c,-1/r(2),-r(3/2))

||OA||²=a²+2 , ||OA||²=b²+2 et ||OC||²=c²+2

A,B et C sont 3 points de IR3 euclidien. Le produit mixte de OA, OB et OC est égal au déterminant

det( OA,OB,OC)= r(3) (a+b+c) =< ||OA|| ||OB|| ||OC||

AA+

wow . bien vu

merci pour l explication , la demo é bien faite mai elle é basée sur une inegalité que la plupart des eleves de terminale ne peuven ps comprendre ( voir tous), donc ils pourron ps l utilizé aprè ( euclidien..!)
je me demande si ya ps une preuve elementaire avec des inégalités "connues"..
j ai utilizé l inégalité de HOLDER généralisée mai g ps trouvé gran choz juste que (a²+2)(b²+2)(c²+2)>=(a^2/3+b^2/3+c^2/3)^3..!

Ben on peut toujours tout développer, utiliser l'IAG à fond, un petit coup de Schur et ça passe!

Sinon, pour prouver l'inégalité de abdelbaki.attioui, il y a plus simple :
Vu que deux des trois nombres a²-1, b²-1 et c²-1 doivent avoir le même signe, on peut supposer que :
De là, on a :
Et donc :

CQFD!

sans commentaire:

Bonsoir
je peux dire que l'objectif de cet exercice est atteint. De trouver deux voir 3 solutions qui touchent les programmes de sup ou de teminal ceci est effectivement le rôle d'un bon exercice.

Je connais batman, spiderman, ..... Mais , ils n'ont rien avoir avec mathman je vous applaudis
( il faut juste corrigé (a²+2)(b²+2)>=3(a²+b²+1) )
AA+