problème N°91 de la semaine (23/07/2007-29/07/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Salut
Solution postée
voici la solution de selfrespect
Salut Mr Samir;
on remarque que 0,2,3 conviennent montrons que ce sont les seules !
montrons alors que Sn=Sum_{3^{n+2}( i^n)<(n+3)^n
la fct x--->x^{n+1} est continue et derivable sur R d'ou selon le TAF dans [i,i+1] / 3=<i=<n+2
il existe c dans ]i,i+1[ tel que :
(i+1)^{n+1}-i^{n+1}=(n+1)c^n >= (n+1)i^n
alors par sommation de ces inegalitées on a :
(n+2+1)^(n+1)-3^(n+1)>= (n+1)Sum_{3^[n+2}}i^n=(n+1)Sn
==> Sn=<[(n+3)^(n+1)-3^(n+1)]/(n+1) <(n+3)^n
d'ou lequation 'npo de solutions pour n>3 !
alors S={0,2,3}


ON PEUT PAS PRENDRE LA VALEUR n=0!!!! (administration)

Salut tout le monde.
Solution postée.
voici la solution de boukharfane radouane
Salut tout le monde.
pour n=2,3 la solution est triviale.
pour nsup ou égale à 4 on remarque que (n+3)^n accelére plus vite que 3^n+4^n+...+(n+2)^n.
montrons par récurrence que (n+3)^(sup ou =)3^n+4^n+...+(n+2)^n.
pour n=4 c'est triviale.supposons que sigma (k=1 à k=n) de (k+2)^n (inf ou =) (n+3)^n et montrons que sigma(k=1 à k=n+1à de (k+2)^(n+1) (inf ou =) de (n+4)^(n+1).
on a
sigma(k=1 à k=n+1) de (k+2)^(n+1)=sigma(k=1 à k=n+1) de (k+2)^n*(k+2)
(inf ou =)(n+3)(sigma(k=1 à k=n+1) de (k+2)^n
donc il suffit de montrer que (2n+5)(n+4)²/(n+3)^3 (inf ou =)(n+4/n+3)^(n+3).on peut facilement montrer à l'aide d'une fonction montrer que la derniere inégalité est vrai pour tout n sup ou= 4.
nb.j'étais trés occupé cette semaine que j'ai pas le temps pour bien rédiger la solution.et bonne vacance pour te monde.

les solutions de l'equation sont {2,3}

samir a écrit:

les solutions de l'equation sont {2,3}

ah oui evidemment je sais po d'ou sort ce zero


merçi