problème N°65 de la semaine (22/01/2007-28/01/2007)

le problème de cette semaine est un problème déja proposée sur le forum et qui n'as pas eu de solution voir ici

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

est-ce que la somme volé par chaque voleur est un entier d'euros?
parceque sinon on peut trouver un contre exemple

Ismail a écrit:

est-ce que la somme volé par chaque voleur est un entier d'euros?
parceque sinon on peut trouver un contre exemple

oui ; la meme question !!!

slt
alors; solution postée:farao:
voici la solution de selfrespect
SALUT

posons LES SOMMES D ARGENT VOLE2S RESPECTIVEMENT PAR LES VOLEURS
on suppose que (on a le droit de les ordonner et puisqu ils sont differents deux a deux )
on a

on remarque que le probleme est resolu si on prouve que
on suppose alors le contraire c a dire on suppose:
==>
(si on suppose le contraire on obtient x_5+x_6+x_7>16+17+18=51 !!!)
==>
==>
==>
==> contradiction avec l hypothese !!!
donc
alors les voleurs V_5 et V_6 et V_7 ont volé au moins 50 euros

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhorBonjour Samir ;
Ordonnons les sommes volées dans le sens strictement croissant et notons vi la somme volée par le i-ème voleur pour i = 1..7
Il s'agit alors de prouver que v5 + v6 + v7 > = 50 .
Sinon on aurait v5 + v6 + v7 < = 49 et donc v5 + ( [size=9]v5 + 1) + (v5 + 2) < = 49 c'est à dire v5 < = 15 , [/size]
et par suite v4 +[size=9]v3 + v2 + v1 < = 14 + 13 +12 +11 = 50 . [/size]
(sauf erreur bien entendu)

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
Soient n_1<n_2<...<n_7 les sommes volées par les 7 voleurs.
Soit I={(i,j,k) / 1=<i<j<k=<7}, on a Card(I)=C(3,7)=7!/3!4!=35.
Pour tout v de 1 à 7, soit I(v)={(i,j,k) dans I/ v€{i,j,k}}
==> Card(I(v))=C(2,6)=6!/2!4!=15
==> (somme sur I)(n_i+n_j+n_k) =15(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5+n_6+n_7)=15x100
De même (somme sur I)(i+j+k)=15(1+2+3+4+5+6+7)=15x28.

Si n_5+n_6+n_7=<48
==> qqs (i,j,k) dans I on a : n_i+n_j+n_k=<48-(5-i)-(6-j)-(7-k)=30+(i+j+k)
==> 15x100<35x30+15x28
==> 1500<1050+420=1470 impossible

Si n_5+n_6+n_7=49, alors n_1+n_2+n_3+n_4=51
Mais (n_4+1)+(n_4+2)+(n_4+3)=<n_5+n_6+n_7=49 ==> n_4=<14
alors, 37=<51-n_4=n_1+n_2+n_3=<13+12+11=36 impossible
Donc n_5+n_6+n_7>=50.
A+

samir a écrit:

le problème de cette semaine est un problème déja proposée sur le forum et qui n'as pas eu de solution voir ici

hey! je ne comprends pas ce que tu veux qu'on prouve , car nous avons 7 voleurs, partageant 100euros, si 3 ont au moins 50, ca veux dire que le total est 150 ou plus...

nn astronush ce n'est pa des cet angle que tu dois comprendre le probléme..
en tt cas mr.samir je veux poster ma rps mais ce lien [email]amateursmaths@yahoo.fr[/email] ne marche pa ke dois-je faire ,???
voici la solution de namoussaslt
voila ma réponse

7 voleurs ont volé la somme de 100euros. sois x,y,z,a,b,c et d la somme volée par chaque voleur tel ke a<b<c<d<z<y<x<100 (parceque chacun a volé une somme différente des autres )

x est la plus grande somme volé donc si ce voleurs vole lla somme a ,b,c,z +x il auras au moins volé 50euros e la méme chose pr les 2 autres donc c voleurs ce sont volés eux méme

namoussa a écrit:

nn astronush ce n'est pa des cet angle que tu dois comprendre le probléme..
en tt cas mr.samir je veux poster ma rps mais ce lien amateursmaths@yahoo.fr ne marche pa ke dois-je faire ,???

tu n'as qu'a m'envoyer la réponse à mon e-mail comme tu fait pour envoyer un E-mail à quelqu'un ( ouvrir ton E-mail puis ...)

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor
ai appartient à {1,2,…,99} pour i dans {1,2,…,7}
a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7
Et a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=100

Il suffira de montrer que a5+a6+a7>=50 car sinon, aucune somme de trois termes ai, puisque nécessairement inférieure à a5+a6+a7, ne sera supérieure ou égale à 50.


Si x=a1, a2>=x+1,…, a7>=x+6
Donc 100>=7x+21 et donc a1<=11

De même, si x=a7, a6<=x-1,…, a1<=x-6
Donc 100<=7x-21 et donc a7>=18

Hypothèse : Supposons que a5+a6+a7<=49

a5>=a2+3,a6>=a3+3,a7>=a4+3,donc a2+a3+a4<=40
Donc 100-a1=a2+...+a7<=89
D’où a1<=11

Et donc a1=11

a1=11 entraîne a2>=12,....,a6>=16
Donc a5+a6>=15+16=31
Or a5+a6+a7<=49,donc 31+a7<=a5+a6+a7<=49
Donc a7<=18

Et donc a7=18

Si a6=17, a5+a6+a7>=15+17+18=50, ce qui est faux.
Donc a6=16, a5=15, a4=14, a3=13 et a2=12
Ce qui donne a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=11+39+49=99, ce qui est faux.

Finalement a5+a6+a7>=50
CQFD

A+
Kendor