problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour.

Solution postée
voici la solution de robalro

Une propriété importante est de connaître la formule valable pour 0 < t < pi

cos(t/4) = V[(1/2)+(1/2).V[(1+cos(t))/2]] où V représente racine carré.

De plus : 1+cos(t) = 2.cos²(t/2)

Notons :

A(n) = 2^n.Arccos(D(n))

On cherche à exprimer D(n).

Or par récurence, on montre facilement que D(n) = 1/2^n

En effet on part pour cela de "la droite"

En appliquant la formule :

cos(1/4) = V[(1/2)+(1/2).V[(1+cos(1))/2]]

et ensuite :

V[(1/2)+(1/2).cos(1/4)] = V(cos²(1/) = cos(1/ = cos(1/2^3) car 0 < 1/8 < pi/2

...

Ainsi, on en déduit que :

A(n) = 2^n.Arccos(cos(1/2^n)) = 2^n/2^n = 1

car 0 < 1/2^n < pi pour tout n !!

On peut vérifier en prenant n = 2 :

A(2) = 2^2.Arccos(V((1/2)+(1/2).V(cos(1/2))) = 2^2.Arccos(cos(1/4)) = 1

Bonne journée et merci pour l'énigme

solution postée
Ma premiere
voici la solution d'anass
On utilise cosa=( ½ (1+cos2a))^(1/2) (c’est la clé)

On trouve A=1

qu est ce que c est Arc dans "Arc cos"

salut
j'aimerai savoir si c'est pour TCS

crazyharrypotter a écrit:

qu est ce que c est Arc dans "Arc cos"

salut bein f^-1(cos x)=arccosx et c pour terminal
voici la solution de G-UNIT_AKON:

on a

alors

la meme chose pour l'autre racine
...................
jusqu'a le dernier ou on trouve



alors

et alors

merci

Salam

Solution postée
voici la solution de Mahdi
On sait que :

On remplace dans A_n
par

et ainsi de suite
Enfin on obtient :
Alors : A_n=1/2

salut ,

Solution postée
voiçi la solution de selfrespect

*on sait bien que qq soit x de R cos(x)+1=2sin²(x/2)
on considerant x=1/2
on truve aisement que N=(2^n)arcos(0.5+rac(0.5+.......))=(2^n)arccos((cos(1/2^n))=2^n/2^(n+1)=1/2
alors N=1/2

solution postée

c etait trivial
voici la solution de digital_brain

voici la solution

sin(a/2)=sqrt(1/2+1/2cos(a))
on utilisons cette propriete n fois

on obtiendra

An=2^nArcos(sin((1/2)^n+1))
=2^n(sqrt(1-(1/2)^2n))
=sqrt(2^(2n)-1)
a propos de la solution du probleme de la semaine
j avais une erreur dans la formule trigonometrique

voici la rectification

cos(a/2)=sqrt(1/2+1/2cos(a))
on utilisons cette propriete n fois

on obtiendra

An=2^nArcos(cos((1/2)^n+1))
=2^n(1/2^(n)+1))
=1+2^n

SLt
solution postée:)
voici la solution de bestfriend

salut tout le monde,
Solution postée
voici la solution de magus


on a: cos(1/2)=cos(2(1/4))=2cos²(1/4)-1

donc:(1/2)+(1/2)(cos(1/2))=1/2+cos²(1/4)-1/2=cos²(1/4)

alors dans la premiere racine on a

et dans la deuxiéme on a:

et dans le troisième on a:

et c'est ainsi jusqu'à..............................le nième racine:

on y trouvera:

et enfin:

désolé pour le derangement

Solution postée
voici la solution de Raa23
Solution :
cos(2x)=2cos(x)^2-1
donc ½*(cos(x)+1)=cos(x/2)^2
½^n < Pi/2 donc les cosinus est positif
Par suite

A=2^n*Arccos(cos(1/2^n)=1

salam
solution postée
voici la solution d'aissa

Salut tout le monde :
An=2nArccos(un) avec , un= n fois racine
On a : un+1= et u1 = cos(1/4) alors : un = cos(1/2n+1)
donc : An = 1/2

solution postée
voici la solution de FERMAT
il suffit de remarquer que 1+cosx=2cos²(x/2)

solution postée
voici la solution de Boukharfane radouane
on sait que cosx=2cos²x/2-1 et que pour tout n appartenant à IN on a cos 1/2^n>=0 puisque qqe soit n de IN on a 0=<1/2^n=<pi/2.
en utulisant ses deux remarques n fois on arrive à conclure que l'expression demandée est équivaut à 1/2.