| problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) | |
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+23sami matrix stof065 yassine-mansouri ali 20/20 Alaoui.Omar In-16 khamaths Anas_CH colonel relena abdou20/20 badr kaderov abdelbaki.attioui Yalcin crazyharrypotter elhor_abdelali o0aminbe0o Oumzil aissa radouane_BNE samir 27 participants |
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samir Administrateur
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samir Administrateur
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| salut chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL amateursmaths@yahoo.fr (Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée ) puis il poste le message suivant ici "solution postée" pour plus d'information voir les conditions de participation Merci | |
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radouane_BNE Modérateur
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aissa Modérateur
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| salut tout le monde solution postée je veux je peux
voici la solution d'aissa salut samir x et y>o z>o: alors x+y-2V(xy)>0 alors: (x+y)(x+z)(y+z)>=8xyz on a: x+y+z=1 alors x+y=1-z , x+z=1-y et y+z=1-x donc: (1+x)(1+y)(1+z)=(x+z +y+z)(x+y +y+z)(x+y +x+z) >= 8(x+y)(x+z)(y+z)=8(1-x)(1-y)(1-z). وقل ربي زدني علما | |
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Oumzil Maître
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| Sollution Postée ! à+ voici la solution d'Oumzil![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) 610](https://i.servimg.com/u/f19/09/04/76/67/610.png) | |
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o0aminbe0o Expert sup
Nombre de messages : 963 Age : 34 Date d'inscription : 20/05/2007
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| salam alaikoum tout le monde solution postée (solution non trouvée parmis mes mails)(administration) | |
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elhor_abdelali Expert grade1
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crazyharrypotter Maître
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| solution postèe voici la solution de crazyharypotter x .y .z trois rèel strictement positifs et z+y+x=1 ==> 0<x<1 et 0<y<1 et 0< z<1 ==> 1<x+1<2 et 0<1-x<1 et 1<y+1<2 et 0<1-y<1 et 1<z+1<2 et 0<1-z<1 ==> 1<x+1<2 et 1<1/(1-x) et 1<y+1<2 et 1<1/(1-y) et 1<z+1<2 et 1<1/(1-z) ==> 2=<x+1/1-x et 2=<y+1/1-y et 2=<z+1/1-z ==> 8=<(x+1)(y+1)(z+1)/(1-x)(1-y)(1-z) on a [ 0<1-x<1 et 0<1-y<1 et 0<1-z<1 ==>0<(1-x)(1-y)(1-z)] ==> 8(1-x)(1-y)(1-z)=<(x+1)(y+1)(z+1) merci | |
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Yalcin champion de la semaine
Nombre de messages : 21 Date d'inscription : 19/09/2005
![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mar 03 Juil 2007, 13:32 | |
| solution postée voici la solution de yalcin posons u(x)= [(1+x)/(1-x)]
posons f(x,y,z) = u(x).u(y).u(z)
posons g(x,y)=f(x,y,1-(x+y)) c'est cette fonction qu'on veut minorer
or diff(g(x,y),x)=2(y-1+2x)(1+y)/((x+y)²(x-1)²)
d'où on obtient avec un tableau de variation qu'on a un minimum de la fonction g(x,y) en x=(1-y)/2 ,et on a g(x,y)>=g((1-y)/2,y)
or g((1-y)/2,y)=(y-3)²/(1-y²) , posons t(y)=g((1-y)/2,y)
or diff(t(y),y)=2(3-y)(3y-1)/((y²-1)²) ,d'où avec un tableau de variation , on obtient un minimum de la fonction t(y) en y=1/3
d'où t(y)>=t(1/3) , comme g(x,y)>=t(y) ,d'où g(x,y)>=t(1/3) , or t(1/3)=8
finalement on obtient : g(x,y)>=8 ,d'où f(x,y,z)>=8 ,avec x+y+z=1
et finalement on obtient : (1+x)(1+y)(1+z)>=8(1-x)(1-y)(1-z) | |
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abdelbaki.attioui Administrateur
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| Bonjour Solution postée voici la solution d'abdelbaki.attioui
Il est clair que 0<x,y,z<1 On pose : 2a=1-x , 2b=1-y, 2c=1-z ==> 0<a,b,c<1 et a+b+c=1 L'inégalité devient: (1-a)(1-b)(1-c)>=8abc <==> 1-a-b+ab-c+ac+bc-abc>=8abc <==> ab+bc+ac>=9abc <==> 1/a+1/b+1/c>=9. Mais il est bien connu que (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 A+ | |
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kaderov Maître
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![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mar 03 Juil 2007, 15:20 | |
| Salut Solution postée
voici la solution de Kaderov
Posons a=x+y b=y+z c= x+z
On a alors : 2x+y+z=1+x= a+c; x+2y+z=1+y =a+b; x+y+2z=1+z=c+b &
1-x=y+z=b ; 1-y=x+z=c ; 1-z=x+y=a
L¡¯in¨¦galit¨¦ devient :
( a+b)( b+c)( c+a ) ¡Ý 8abc
Or a+b¡Ý 2¡Ìab ; a+c ¡Ý 2¡Ìac ; b+c ¡Ý 2¡Ìbc
En faisant le produit des 3 in¨¦galit¨¦s nous obtenons l¡¯in¨¦galit¨¦ d¨¦sir¨¦e | |
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badr Expert sup
![badr](https://2img.net/u/1512/33/98/01/avatars/942-3.jpg)
Nombre de messages : 1408 Age : 34 Localisation : RIFLAND Date d'inscription : 10/09/2006
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Invité Invité
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| solution pstée voici la solution de neutrino slt puisque x+y+z=1
(1+x)(1+y)(1+z)= ( x+y+z+x)( x+y+z+y)( x+y+z+z) = [ (x+y)+(z+x)][(x+y) + (z+y) ][ (x+z)+ (y+z)] >= ( on utilise le fait que a+b>=2rac(ab) )8( x+y)(y+z)(z+x) = 8(1-z)(1-x)(1-y)
Dernière édition par le Ven 06 Juil 2007, 18:44, édité 1 fois |
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abdou20/20 Expert sup
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![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mar 03 Juil 2007, 21:03 | |
| ATTENTION tu dois poster ta solution par e-mail | |
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relena Expert sup
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| Bonjour ! Solution postée voici la solution de relena Bonjour ! Voici ma réponse pour le problème de semaine N° 88 : (x,y,z) £ IR*+ tels que x+y+z = 1 On pose : A = (1+x) (1+y) (1+z) = (2x+y+z) (2y+x+z) (2z+x+y) car x+y+z = 1 B = 8(1-x) (1-y) (1-z) = 8 (x+y) (y+z) (z+x) car x+y+z = 1 X = x+y ; Y = y+z et Z = z+x X+Y >= 2racine(X.Y) Y+Z >= 2racine(Y.Z) Z+X >= 2racine(Z.X) D'où (X+Y) (Y+Z) (Z+X) >= 8XYZ donc (2x+y+z) (2y+x+z) (2z+x+y) >= 8 (x+y) (y+z) (z+x) D'où A >= B et c'est ce qu'on veut
Life is nothing without hope. Relena | |
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colonel Expert grade1
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| salut . solution postéé voici la solution de colonel
je suis partie d'un exo qui demande de montrer que pour x>0, y>0 et z>0, on a : (x+y)(y+z)(x+z) >= 8xyz on a (x+y)(y+z)(x+z)-8xyz = xz²+zy²+yz²+zx²+xy²+yx²-6xyz = xz²-xyz + zy²-xyz + yz²-xyz + zx²-xyz + xy²-xyz + yx²-xyz = xz(z-y) + zy(y-x) + yz(z-x) + zx(x-y) + xy(y-z) + xy(x-z) = x(z-y)² + z(y-x)² + y(z-x)² qui est positif ou nul
en appliquant ce résultat avec x = 1-a ; y = 1-b ; z = 1-c et donc a+b+c = 1 on a donc x+y = 2-a-b =1+c ; x+z = 2-a-c = 1+b ; y+z = 2-b-c = 1+a
on obtient bien (1+a)(1+b)(1+c) >= 8(1-a)(1-b)(1-c)
Dernière édition par le Jeu 05 Juil 2007, 12:17, édité 2 fois | |
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Anas_CH Maître
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![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mer 04 Juil 2007, 13:41 | |
| السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
SOLUTION POSTéE voici la solution d'anass On a : x>0 , y>0, z>0 et x+y+z=1 Donc : 0<x<1 et 0<y<1 et 0<z<1 => (1-x)(1-y)(1-z)>0 =>(1-x)(1-y)(1-z)≠0 [(1+x)(1+y)(1+z)]/[(1-x)(1-y)(1-z)] = [(1+x)/(1-y)]*[(1+y)/(1-z)]*[(1+z)/(1-x)] = [(x+z)/(x+z)+(x+y)/(x+z)]*[(x+y)/(x+y)+(y+z)/(x+y)]*[(y+z)/(y+z)+(z+x)/(y+z)] = (1+(x+y)/(x+z)) (1+ (z+x)/(y+z)) (1+ (y+z)/(x+y)) posant (x+y)=a et (x+z)=b et (y+z)=c on a : [(1+x)(1+y)(1+z)]/[(1-x)(1-y)(1-z)]=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a) =(1+b/c+a/b+a/c)(1+c/a) =1+b/c+a/b+a/c+b/a+c/b+c/a+1 on sait que a et b et c sont strictement positive donc a/b+b/a≥2 et a/c+c/a≥2 et c/b+b/c≥2 alors 1+b/c+a/b+a/c+b/a+c/b+c/a+1≥8 <=> [(1+x)(1+y)(1+z)]/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≥8 et enfin on a (1+x)(1+y)(1+z) ≥8(1-a)(1-b)(1-c) | |
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khamaths Maître
Nombre de messages : 98 Date d'inscription : 17/03/2006
![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mer 04 Juil 2007, 18:08 | |
| Bonjour Solution postée voici la solution de khamaths Bonjour Samir
Il est clair que x ; y et z ¤ ]0;1[ =I ( x+y+z =1) le problème revient à montrer que : P = (1+x)/(1-x)*(1+y)/(1-y)*(1+z)/(1-z) >= 8
considérons la fonction : f(x) = ln[ (1+x)/(1-x) ] : x ¤ ]0;1[=I
f est définie et de classe C² sur I et on a : f '' (x) = 4x/(1-x²)² > 0 sur I ====> f est convexe sur I =====> f(x) + f(y) + f(z) >= 3 f[ (x+y+z)/3] ====> f(x) +f(y) +f(z) >= 3f(1/3)=3ln2 ====> ln P >= ln 8 ===> P >= 8 ===> (1+x)(1+y)(1+z) >= 8 (1-x)(1-y)(1-z) | |
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In-16 Habitué
Nombre de messages : 13 Age : 33 Date d'inscription : 28/02/2007
![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Mer 04 Juil 2007, 20:03 | |
| "solution postée" voici la solution de Ln-16 salam on, a x+y+z=1 donc x<1 e y<1 e z<1 puiskils sont strictement positifs (1-x)+(1-y)>=2rac(1-x)* rac (1-y) (1-x)+(1-z)>=2rac(1-x)*rac(1-z) (1-z)+(1-y)>=2rac(1-y)*rac(1-z) alors (2-x-y)(2-y-z)(2-z-x) >= 8(1-x)(1-y)(1-z) 2-x-y= 1+1-x-y=1+z la mm chose pr le 2 autres dou (1+x)(1+z)(1+y)>=8(1-x)(1-y)(1-z) * vx dire multiplié par In-16 | |
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Alaoui.Omar Expert sup
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| solution postée voici la solution de Alaoui.Omar![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Proble10](https://i.servimg.com/u/f19/11/19/64/85/proble10.gif) | |
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ali 20/20 Maître
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| Sollution postée (solution non trouvée parmis mes mails)(administration) | |
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yassine-mansouri Expert grade1
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| Solution postée voici la solution de yassine-mansouriOn va poser a=x+z a+b=x+1 (a,b,c>0) b=x+y b+c=y+1 c=y+z c+a=z+1
Sachant que (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc (*) Alors (x+1)(y+1)(z+1)>=(x+y)(x+z)(z+y) On a x+y+z=1 Alors x+y=1-z et x+z=1-y et y+z=1-x D’où (x+1)(y+1)(z+1)>= (1-x)(1-y)(1-z)
Démonstration de l’inéquation (*) : a/b+b/a+a/c+c/a+b/c+c/b>=6 =>a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b>=6abc =>a²b+b²a+a²c+c²a+b²c+c²b+2abc>=8abc =>(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc | |
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stof065 Expert sup
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![problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Empty](https://2img.net/i/empty.gif) | Sujet: Re: problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) Jeu 05 Juil 2007, 20:42 | |
| solution postée voici la solution de stof065 sllttt on a x+y+z=1 (1+x)(1+y)(1+z)=(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) =((x+y)+(x+z))((y+z)+(y+x))((z+y)+(z+x)) on (implique a²+b²>=2ab) (1+x)(1+y)(1+z)=((x+y)+(x+z))((y+z)+(y+x))((z+y)+(z+x)) >=8rac[(x+y)²(y+z)²(z+x)²]=8(x+y)(y+z)(z+x) =8(1-x)(1-y)(1-z) (car x+y+z=1) SToF065 a+ | |
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matrix Maître
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| "solution postée" (solution non trouvée parmis mes mails)(administration) | |
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sami Expert sup
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| solution postée voici la solution de sami salut je suis partie d'un exo qui demande de montrer que pour x>0, y>0 et z>0, on a : (x+y)(y+z)(x+z) >= 8xyz on a (x+y)(y+z)(x+z)-8xyz = xz²+zy²+yz²+zx²+xy²+yx²-6xyz = xz²-xyz + zy²-xyz + yz²-xyz + zx²-xyz + xy²-xyz + yx²-xyz = xz(z-y) + zy(y-x) + yz(z-x) + zx(x-y) + xy(y-z) + xy(x-z) = x(z-y)² + z(y-x)² + y(z-x)² qui est positif ou nul
en appliquant ce résultat avec x = 1-a ; y = 1-b ; z = 1-c et donc a+b+c = 1 on a donc x+y = 2-a-b =1+c ; x+z = 2-a-c = 1+b ; y+z = 2-b-c = 1+a
on obtient bien (1+a)(1+b)(1+c) >= 8(1-a)(1-b)(1-c) | |
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| problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007) | |
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