problème N°88 de la semaine (02/07/2007-08/07/2007)

Bonjour à Toutes et Tous!!
Bonjour Mr SAMIR !!
Solution au Pb88 postée ce jour 07/07/2007.
A+ LHASSANE

voici la solution de Bourbaki
Bonjour Mr SAMIR.
Voici ma proposition de solution pour le problème de la Semaine Numéro 88.

N’étant pas un Spécialiste des Inégalités ( je le regrette fort d’ailleurs ) et n’étant pas non plus un Olympien pur et dur , je vous propose ma solution basée sur l’étude et la recherche d’extrêmas de fonction numérique . C’est une solution en CAS DE PANNE …. Et dans la diversité , il y a toujours un enrichissement !!!

LES CONTRAINTES
On suppose x, y et z strictement positifs et vérifiant x+y+z=1
De manière précise soient A(1,0,0) ; B(0,1,0) et C(0,0,1) alors le domaine des contraintes est l’ensemble des points M de l’espace situés à l’intérieur du triangle de sommets A,B et C et distincts de ces sommets .
Notons D= { (x,y,z) ; 0<z<1 , 0<x<1-z et y= -x+(1-z) }

LA SOLUTION
Notons u la fonction de ]0,1[ dans ]0,+oo[ définie par
u(a)=(1-a)/(1+a) et F la fonction de trois variables x, y et z définie par F(x,y,z)=u(x).u(y).u(z) alors prouver l’inégalité proposée par Mr SAMIR revient à montrer que :
F(x,y,z)=(1-x)/(1+x).(1-y)/(1+y).(1-z)/(1+z) <=1/8 pour tout (x,y,z) dans D .
Pour tout z fixé , 0<z<1 , on va chercher le maximum Mz de la fonction F(x, -x+(1-z),z)=u(x).u(-x+(1-z)).u(z) lorsque 0<x<1-z
Puis on vérifiera que Mz <= 1/8

Si 0<z<1 , la dérivée en x de f(x, -x+(1-z),z) est égale tous calculs faits à :
{ [2.(1-z)] / [(2-x-z).(1+x)]^2 } .(1-z-2x).u(z)
elle a le signe de (1-z-2x) et ses variations montrent qu’elle atteint un maximum pour x=(1-z)/2 et ce maximum vaut tous calculs faits Mz=(1-z^2)/(3-z)^2 .
Il reste à prouver pour terminer que Mz<=1/8 si 0<z<1
Or Mz<=1/8 équivaut tous calculs faits à montrer que :
9z^2-6z+1>=0 soit (1-3z)^2>=0 ce qui est VRAI partout !!
Remarque : le Max est atteint pour z=1/3 et cela donnera x=y=1/3 donc l’égalité de Mr SAMIR devient égalité lorsque
x=y=z=1/3 .

Ce qui termine la solution.
A++. BOURBAKI

solution postée
voici la solution de conan
x,y,z >0 et x+y+z = 1

on a :
(1+x)(1+y)(1+z) = [(x+y)+(x+z)] [(y+z)+(y+x)] [(z+y)+(z+x)] = A

Donc : A >= 2rac[(x+y)(y+z)]*2rac[(y+z)(y+x)]*2rac[(z+y)(z+x)]

>= 8(x+y)(y+z)(z+x) =8(1-x)(1-y)(1-z)

voici une autre methode : x+y+z = 1


notre inegalité est equivalente a (aprés developpement)

9xyz + 2 >= 7(xy+yz+zx)

ce qui est facile a demontrer :

on a : 7(xy+yz+zx)-9xyz = 1/81[(7-9x)(7-9y)(7-9z) + 98]

et selon IAG : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< [[(7-9x)+(7-9y)+(7-9z)]/3]^3

donc : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< 64

alors : 7(xy+yz+zx)-9xyz =< (64+98 )/81 = 2 ce qui donne le resultat cherché

x+1>=2vx y+1>=2vy z+1>=2vz
x+y>=2vxy y+z>=2vyz x+z>=2vxz
alors vxyz>=xyz
prcque vx>=x vy >=y vz>=z
alors vxyz>=xyz
v=racine

pour moi si x,y et z sont positives alors donc cette egalite est vrai

Conan a écrit:

voici une autre methode : x+y+z = 1


notre inegalité est equivalente a (aprés developpement)

9xyz + 2 >= 7(xy+yz+zx)

ce qui est facile a demontrer :

on a : 7(xy+yz+zx)-9xyz = 1/81[(7-9x)(7-9y)(7-9z) + 98]

et selon IAG : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< [[(7-9x)+(7-9y)+(7-9z)]/3]^3

donc : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< 64

alors : 7(xy+yz+zx)-9xyz =< (64+98 )/81 = 2 ce qui donne le resultat cherché

je crois que cette inegalité n'est juste que sii 7-9x ,7-9y,7-9z sonty positifs ,^^

selfrespect a écrit:

Conan a écrit:

voici une autre methode : x+y+z = 1


notre inegalité est equivalente a (aprés developpement)

9xyz + 2 >= 7(xy+yz+zx)

ce qui est facile a demontrer :

on a : 7(xy+yz+zx)-9xyz = 1/81[(7-9x)(7-9y)(7-9z) + 98]

et selon IAG : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< [[(7-9x)+(7-9y)+(7-9z)]/3]^3

donc : (7-9x)(7-9y)(7-9z) =< 64

alors : 7(xy+yz+zx)-9xyz =< (64+98 )/81 = 2 ce qui donne le resultat cherché

je crois que cette inegalité n'est juste que sii 7-9x ,7-9y,7-9z sonty positifs ,^^

meme s'ils sont negatives mon ami selfrespects , parce que si un nombre (x >= a) (a est positive) donc x >= -a

ben tu dis que (a+b+c)^3>=27abc pour tt 'a,b,c) de R^3
bon soit a>0 ET b=c=-a
on a -a^3>=27a^3 !! tu vois

selfrespect a écrit:

ben tu dis que (a+b+c)^3>=27abc pour tt 'a,b,c) de R^3
bon soit a>0 ET b=c=-a
on a -a^3>=27a^3 !! tu vois

attention selfrespects , dans mon post la somme (a+b+c) est positive !!!

Conan a écrit:

selfrespect a écrit:

ben tu dis que (a+b+c)^3>=27abc pour tt 'a,b,c) de R^3
bon soit a>0 ET b=c=-a
on a -a^3>=27a^3 !! tu vois

attention selfrespects , dans mon post la somme (a+b+c) est positive !!!

lol tu n'as pas compris mon post
ben soient (x,y,z) de R^3
tel que x>0 et y=z=-x
enfin -x^3>=27x^3