problème N°103 de la semaine (15/10/2007-21/10/2007)

Puisque personne n'a réussi a résoudre Ex 1 (epreuve 4)(OMMI 2007 )
j'ai décidé de le choisir comme problème de cette semaine

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

slt,
solution postée.
voici la solution de callo
je vous propose cette solution pr le pb de la semaine 103 :
on a :
b est supérieur strictement à a
donc S(b) est supérieur ou egale à S(a)
alors S(b)² est supérieur ou egale à S(a)²
donc ou bien a² est supérieur ou egale à b² ou bien s(b)=s(a)
puisque a² superieur à b² est impossible
donc les entiers a et b qui vérifient la condition sont les entiers
tels que
(b est supérieur à a) et S(b)=S(a)

solution postée
voici la solution de mohamed_01_01
a=a1...an et b=b1....bn' (n'>=n car b>a (n=n1....nc))
au premier j'ai montre que le nombre de chiffre de a est moin que 4
j'avais supose que le nombre est plus que 4
(d(x)=(le nombe de chiffre de x))
je demontre au pemier que:
-S(a)²<9²*n²
-d(x)=m ==> d(x²)<=2m+2 d'ou je deduit que d(S(a)²)=<2c+2
-2c+2>d(S(a)²)=d(b)=n'>n>10^(c-1) donc 2c+2>10^(c-1) si c>1 va etre faux si c=1 5<=n<=n'=d(b)=d(S(a²))<=4 donc n<=4
-si n=4 S(a)²<=4²*9²=1296 (dans la demonstration que j'ai l'envoye j'ai fais un faute de trappe j'avais ecrit S(a)²>4²*9²)
-si n'>4 donc b>s(a)²donc n'=4) donc si b1>=2=>b>=2000 donc b1=1 donc a1=1 ==> S(a)²<(9+9+9+1)²=784 ce qui condadictoir car n=4
-donc n>=3 le cas n=3 j'ai fait S(a)²<3²*9²=729 donc n'=3 et b1<=7
-b1<=7 ===>s(b)²<(7+9+9)²=625 ===> a1<=6
-a1<=6 ===> s(a)²<(6+9+9)=576 donc b1<=5
-b1<=5 ===>s(b)²<(5+9+9)=529
-si a1=5 donc a2<2 se qui donne s(a)²<(5+2+9)²=169 donc b<169 100<=a<b<=169 en va cherhce au premier au carre parfait) je crois qu'il y a pa de solution
-si a2>=2 donc a1<5===>S(a)²<=(4+9+9)²=484==> donc b<=484 on va cherche les carre parrfait a et b tel que 169<=a<b<=484 ...

Solution postée
voici la solution de ThSQ
Seules solutions : 169,256

d(a) = nombre de chiffres de a.

* Si d(a)=4:
S(a) <= 4*9=36, b<= 36²=1296 et donc S(b) <= 3*9=27 mais 27² < 1000.
Donc d(A) # 4;

* Pareil pour d(a) = 5 et plus.

* Donc d(a), d(b) <= 3.

* d(a) = 1 implique a=b : pas solution. d(a) = 2 ou 3

* modulo 9 on a S(a)²=a²=b, b²=S(b)²=a=a^4 cela implique a=0,1,4,7 mod 9.

* a et b sont des carrés.

* il faut donc essayer 9²,10²,13²,16² : 169,256 convient

mohamed_01_01 a écrit:

solution postée (voir ma reponse à l'epreuve immo)

Je crois ke personne na su repondre a ce problem dans les immo