problème N°109 de la semaine (26/11/2007-02/12/2007)

NB :
Le problème de la semaine N° 108 a résisté devant la plupart des membres (la solution d'abdelbaki.attioui est bonne -celle de ThsQ est incomplète - et j'ai pas trouvé celle de boukharfane )
Donc le problème de cette semaine(N°109) sera le meme que la semaine précedente (N°108) )

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
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Merci

solution postée
voici la solution de mohamed_01_01
pour m et n et p et r on la meme ( zawjya) (facile à demontre il n'ay quà se supose que il y un nombre paire et l'autre impaire) et on peux demontre que (mnpr-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))#1
on a (mnpr-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))>1 ===> (mnpr-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))>=2===> ln(mnp-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))>=ln2
ln(mnpr)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))>ln2 ===> ln(n/(n-1))+ln(m/(m-1)+ln(p/(p-1))+ln(r/(r-1))>ln2
c'est facile demontre que (((n+2)/(n+1)>(m/(m-1) et (n+4)/(n+3)>p/(p-1) et (n+6)/(n+5)>r/(r-1))
donc ln(n/(n-1)+ln((n+2)/(n+1))+ln((n+4)/(n+3))+ln((n+6)/(n+5))>ln2 on supose que n>=5 et on va trouve que si faux
donc n=2;3;4
*pour n=4 donc mnpr-1=2k+1 donc (mnpr-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))=2 n'damet pas de solution donc
(mnpr-1)/((n-1)(m-1)(p-1)(r-1))>=3 ===>ln(4/(3))+ln(m/(m-1)+ln(p/(p-1))+ln(r/(r-1))>ln3
(facile a demontre que m+2/(m+1)>p/(p-1) et (m+4)/(m+3)>r/(r-1))====>
ln(4/(3))+ln(m/(m-1)+ln((m+2)/(m+1))+ln((m+4)/(m+3))>ln3 est c'est pas juste car m>=n+2=6
*pour n=3===>ln(3/2)+ln(m/(m-1)+ln((m+2)/(m+1))+ln((m+4)/(m+3))>ln2 pour m>=11 c'est faux
*pour m=9 ln(3/2)+ln(9/8 )+ln(p/(p-1))+ln((p+2)/(p+1)>ln2 pour p>=13 est faux donc p>=m+2=11===>
ln(3/2)+ln(9/8 )+ln(11/10)+ln(r/(r-1)>ln2 pour r>=15 est faux et puisque r>=p+2 donnc reste r=13 et on s'assure
(3*9*11*13-1)/(2*8*10*12)=2.0104.... donc faux
*pour m=7 la meme chose on va trouve que si imposible pour p>=15 pour p=13 va trouve si imposible si r>=21
donc il reste r=19;17;15 et on s'assure (les trois sont faux)
*pour m=5 la meme methode imposible pour p>=31 et puisque m=5 et n=3 donc (15pr-1)/(8*(p-1)*(r-1))£N
donc p-1 ne se devise pas sur 3 et 5 donc les valeur qui reste p=29;27;23:17;15;9 et pour chaque valeur en cadre r est en choisi les valeur de r tel que r-1 ne se devise pas par 3 et 5 et puis on s'assure
*pour n=2 on va demontre que ln(2)+ln(m/(m-1))+ln(p/(p-1)+ln(r/(r-1))>=ln3===>
ln(2)+ln(m/(m-1))+ln((m+2)/(m+1)+ln((m+4)/(m+3))>=ln3 pour m>=8 est faux il reste m=4;6
pour m=6 ln2+ln(6/5)+ln(p/(p-1)+ln((p+2)/(p-1))>ln3 (on va trouve que la seul posibilite est p=8 et r=10) et aussi il est faux
pour m=4 la meme methode pour cette valeur