problème N°101 de la semaine (01/10/2007-07/10/2007)

Le problème de cette semaine est le meme que celui de la semaine N° 100 voir PB N° 100
car personne n'a reussi à trouver la solution

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postée
voici la solution de mohamed_01_01
on consider P(x)=a_nx^n..a_1(x)+1 (car P(Q(x))=x^2007+2x+1)
Q(x)=b_n'(x^n')..+b_1(x)...b_0
P(Q(1))=a_n(Q(1)....a_1(Q(1))+1
si Q(1)>4 donc si il'ya i de [1;n] tel que a_i>=1 donc a_i(Q(1))>4 donc P(Q(1))<4 est cela est faut car P(Q(1))=4
et si que soit i [1;n] a_i=0 donc P(x)=1 est cela est pas juste car P n'est pas stable
donc Q(1)=b_n'...b_0=0;1;2;3;4
si Q(1)=2 donc P(Q(1))=a_n(2^n)..a_1(2)+1=4 est cela c'est pas juste car a_n2^n..a_1(2)+1 (fardia)
si Q(1)=4 donc P(Q(1))=a_n4^n..a_1(4)+1=4 est cela c'est faut car a_n(4^n)..a_1(4)+1 (fardia)
si Q(1)=1 donc il'y une seul i tel que b_i=1 est que soit c defirent de i donc a_c=0(on peux pas supose que il y'a plus que 2 conficient sont plus ou egale 0 car Q(1)=1) donc Q(x)=x^i
et P(Q(1))=a_n+a_(n-1)...a_1+1=4 donc il ya trois cas P(x)=x^j+x^j'+x^j''+1 (1) ou P(x)=x^j+2x^j'+1(2)
et P(x)=3x^i+1 (3) pour(1) et (3) n'est pas juste pour (2) P(Q(x))=x^(ij)+2x^(j'i)+1=x^2007+2x+1 donc ij'=1 donc i=j'=1 donc j=2007
Q(1)=3 donc P(Q(1))=a_n(3^n)+...a_1(3)+1=4 il 'une seul solution c'est a_c>=1 et c>=2 donc a_c3^c+1>4 est cela c'est une contradiction donc que soit c>=2 a_c=0 donc a_1(3)+1=4 donc a_1=1 donc P(x)=x+1 et Q(1)=b_n'+...b_1+b_0=3 donc il y 3 solution b_i=b_i'=b_i''=1 et teleque c defirent de i;i';i'' b_c=0 donc Q(x)=x^i+x^i'+x^i'' il va pas etre juste la deuxiem solution c'est b_i=3 et telque c defirent de i donc b_c=0 donc Q(x)=3x^i est cela va etre aussi pas juste il ne reste que b_i=1 et b_i'=2 donc Q(x)=x^i+2x^i'
donc cest on donne au i=2007 et i'=1 il va verfier que P(Q(x))=x^2007+2x+1
donc les polyme qui verfier la condition dont (P(x)=x+1 et Q(x)=x^2007+2x) ou (P(x)=x^2007+2x+1 et Q(x)=x)

solution postée
voici la solution de callo
P(x)=a_n*x^n + .......a_1*x +a_0
Q(x)=b_n*x^n+......................+b0
tels que a_i et b_i des elements de Z

P(Q(x))=x^2007 +2x+1
Q'(x)*P'(Q(x))=2007*x^2006 +2
les coefficients de Q'(x) et de P'(x) sont des entiers
d'ou Q'(x)=1 et P'(Q(x))=2007x^2006 +2x
ou Q'(x)= 2007x^2006 +2x et P'(Q(x))=1
qiu ne vérifie pas la condition demandé donc
Q(x)=x
et P(x)=x^2007 +2x+1

solution postée
voici la solution
(PoQ)'(x)=2007 x^2006+2
<=> P'(Q(x))*Q'(x)=2007 x^2006+2
puisque 2007 x^2006+2 est premier:
P'(Q(x))=2007 x^2006 +2 et Q'(x)=1 ou le contraire
<=> Q(x)=ax+b
<=> (ax+b)^2006 + 2(ax+b) +1=x^2007+ 2x +1
<=> a=1 et b=0
<=> Q(x)=x et P(x)=x^2007+2x+1 ou le contraire

solution postée
Bonjour,


Voici la solution.

On dérive formellement l'équation :

Q' * P'(Q) = 2007 x^2006 + 2

Maintenant on applique le critère d'irréductibilité de Schönemann-Eisenstein

http://mathworld.wolfram.com/EisensteinsIrreducibilityCriterion.html

avec p = 2.
Ca donne que Q' ou que P'(Q) sont des constantes c'est-à-dire que P ou Q sont de degré 1.

Maintenant c'est gagné :

P = +-x + a, a € Z, Q = +-(x^2007 + 2x + 1) - a
ou
Q = +-x + a, a € Z, P = ((+-x - a)^2007 + 2(+-x -a) + 1)

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour
En dérivant on obtient:
Q'(x)P'(Q(x))=2007x^2006+2 irréductible dans IR
==> Q' ou P' est constant ....

A+

Bonjour
Solution postée
voici la solution de khamaths
Bonjour Samir:

Posons: P(x)= Sum(a_ix_i)+x^n et Q(x) = Sum (b_jx_j) + x^m (0<=i<=n-1 et 0<=j<=m-1)
(a_n =b_m =1 car a_nb_m =1) et nm = 2007==> n et m sont impairs

P(Q)= 1+2x+x^2007 =====>a_0 +Sum(a_ib_0^i)=1 ( 1<=i<=n)
=====>a_0=0 ou a_0 =1 ( coefficients sont ds IN)
(*) Si a_0=0:
b_0*(a_1+a_2b_0+....+b_0^{n-1}) = 1 ====>b_0 = 1 et a_1+a_2+....+a_{n-1} +1 = 1

====>b_0 = 1 et a_1=a_2=....a_{n-1}=0
====> P(x)= x^n et Q(x) = 1+ b_1x+.....+ x^m
===> P(Q) =Q^n =(1+b_1x +.....+x^m)^n =1+2x+x^2007
====>Q(1)^n= (2+ b_1+.....+b_{m-1} )^n =4 et n impair
====> n = 1 et b_1+.....b_ {m-1}=2
===> P(x)= x et Q(x) = 1+2x +x^2007
(*) Si a_0 = 1:
b_0=0 ou a_1 = b0 =0
(**) Si b_0 = 0:
P(Q) =1+a_1Q+....+Q^n = 1+2x+x^2007
===> Q / x(2+x^2006) avec Q(0)=0
====> Q(x) = x ou Q(x) = x(2+x^2006)
.Q(x) =x ===> P(x) = 1+2x+x^2007
.Q(x) = 2x +x^2007 ===> P(x) = 1 +x ( m =2007 ===> n=1)

(**) Si a_1 =b_0 = 0 ===> x / Q et Q² / x(2+x^2006)
====> 0 est 1 racine double de x(2+x^2006) (absurde)
Conclusion:
P(x) =x et Q(x) = 1+2x + x^2007
P(x) =1+2x+x^2007 et Q(x) = x
P(x) = 1+x et Q(x) = 2x + x^2007

quelqu'un n'aurait pas par hasard la traduction du critere d'irreductibilite d'einstein?
merci d'avance

wiles a écrit:

quelqu'un n'aurait pas par hasard la traduction du critere d'irreductibilite d'einstein?
merci d'avance

voici le lien
critere d'irreductibilite d'EISENSTEIN

merci monsieur

wiles a écrit:

quelqu'un n'aurait pas par hasard la traduction du critere d'irreductibilite d'einstein?
merci d'avance

C'est EISENSTEIN ; celui-ci a un petit critère d'irréductibilité dans Z assez séduisant du reste !!
Tandis que l'autre , il a été à l'origine de quelquechose de destructif pour l'Humanité ..... la bombe atomique !!!
A+ LHASSANE

ThSQ a écrit:

solution postée
Bonjour,


Voici la solution.

On dérive formellement l'équation :

Q' * P'(Q) = 2007 x^2006 + 2

Maintenant on applique le critère d'irréductibilité de Schönemann-Eisenstein

http://mathworld.wolfram.com/EisensteinsIrreducibilityCriterion.html

avec p = 2.
Ca donne que Q' ou que P'(Q) sont des constantes c'est-à-dire que P ou Q sont de degré 1.

Maintenant c'est gagné :

P = +-x + a, a € Z, Q = +-(x^2007 + 2x + 1) - a
ou
Q = +-x + a, a € Z, P = ((+-x - a)^2007 + 2(+-x -a) + 1)

les confiecient sont entier donc positive