problème N°66 de la semaine (29/01/2007-04/02/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postée
voici la solution de anass_matheux
on a: 1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)-9/2=1/(1-xy)-3/2+1/(1-xz)-3/2+1/(1-yz)-3/2
=2-3/(x²+y²-2xy+x²+y²+z²+z²)+2-3/(x²+z²-2xz+x²+z²+y²+y²)+2-3/(y²+z²-2yz+y²+z²+x²+x²)
=-1/((x-y)²+z²+1)-1/((x-z)²+y²+1)-1/((y-z)²+x²+1)≤0
alors 1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)-9/2≤0
donc 1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)≤9/2

Faux

2-3/(x²+y²-2xy+x²+y²+z²+z²)=2-3/2(1-xy)#1/(1-xy)-3/2

solution postée (desolé ne pas pouvoir la mettre en fichier word).
[solution non trouvée parmis mes mails](administration)

Solution postée
voici la solution Adam

voici la solution que j'ai trouvé pour cet exo :


on sait que : x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz +xz

==> xy + yz + xz =< 1

==> ( 1 - xy ) + ( 1 - yz ) + ( 1 - xz ) >= 2

==> 3 / [ ( 1 - xy ) + ( 1 - xz ) + ( 1 -yz ) ] =< 3/2


et d'après l'inegalité de la moyenne , on obtient : { [ 1 / (1 - xy) ] + [ 1 / ( 1 - xz ) ] + [ 1 / ( 1 - yz ) ] } / 3 =< 3 / [ ( 1 - xy ) + ( 1 - yz ) + ( 1 - xz ) ] =< 3/2

alors : { [ 1 / ( 1 - xy ) ] + [ 1 / ( 1 - yz ) ] + [ 1 / ( 1 - xz ) ] } =< 9/2

Faux
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c)>=9

g trouvé la sol mais je n'arrive po a la envoiyer

salut
solution postée
voici la solution de selfesept
salut
on a x²+y²+z²>=xy+yz+zx et 1/(x+y)=<(x+y)/4xy
==>1-xy>=z(y+x) ===> 1/(1-xy)=<1/z(x+y)=<(x+y)/4zxy
de memes on a 1/(1-xz)=<(x+z)/4yxz et 1/(1-zy)=<(z+y)/xyz
==>S=<[(x+y+z)/xyz]/2
on a x+y+z<9xyz
==> S=<9/2

Faux
x+y+z=(x+y+z)(x²+y²+z²)>=9xyz

Bonjour à tous,

Solution postée.
La preuve de Damien utilise le théorème des multiplicateurs de Lagrange ( les extrémas liés) . Mais, la solution est incomplète vu qu'il n'a pas donné toutes les solutions du système.
Toutefois, ce genre de solution est mal vu par le jury des olympiades donc il faut l'éviter et utiliser juste les moyens de bord d'un lycéen.

c'est tres facile

!!!

Je crois que c'est faux Mr.boukharfane radouane et en + faut po poster sa réponse ici

désole j'ai pas lu attentivement les condition de la participation.

réedite le msg avant que personne ne le lise, t'auras corrigé ta faute . et laisser une chance aux autres afain de réfléchir

solution postée
voici la solution de boukharfane
bonjour ,
voila ma solution :

on pose f(x) = (1-x)^(-1)

f est concave sur ]0,1[

avec l'inegalité de jensen ,on a :

(1/3)[f(xy)+f(yz)+f(zx)] < f[(1/3)(xy+yz+zx)]

f est croissante.

donc :(1/3(1/3)[f(xy)+f(yz)+f(zx)] <f[(1/3)(x^2+y^2+z^2)]

=> (1/3)[f(xy)+f(yz)+f(zx)] < 9/2



Faux
f(x) = (1-x)^(-1) convexe

f'(t)=(1-x)^(-2) et f''(t)=2(1-x)^(-3) >0

solution posteé
voici la solution du conan


Faux

4y²z²=<(1-x²)²

on met 1-xy egale a et 1-yz egal b et 1-zx egal c on a 1/a +1/b +1/c foi a+b+c inferieur ou egal a 9 donc 1/a +1/b +1/c inferieur ou egal a 3-xy-yz-zx pour

x²+y²+z²=1 xy+yz+zx inferieur ou egal a1 donc 3-xy-yz-zx superieur ou egal a 2 donc 9/3-xy-yz-zx inferieur ou egal a 9/2 on trouve que 1/a +1/b +1/c inferieur ou egal a9/2

C'est quoi la solution officielle alors,si toutes les solutions données sont fausses?

c'est bizard, toutes les réponses sont fausses ?!
moi, j'ai trouvé ma faute mais juste après avoir posté ma solution,
je pense qu'on doit pas ecrire la solution comme ça "albert einsten", d'ailleurs la tienne est fausse aussi, car j'ai fait la meme chose que toi !!
en attendant la solution ofiicielle !!

SVP laissez nous plus de temps de reflexion
g trouvé attendez je poste
C faux
g pensé utilisé x²+y²>=2xy
trouver 2/(1-xy) =< 4/(1+y²)
meme chose pour les autres sommer puis appliker IAG mais ca marche po

je baisse les bras, vouas pouvez poster
en fait on est ciblé en ce pb le semaine, vous ne reemarquer po que la plupart (tous) les champions ayant déjà gané n'ont po participer, ils nous ont donné une chance et on la po saisi

salut
on a S=1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)
S=f(x)+f(y)+f(z) telque f(x)=x/(x-a) et a =xyz
onn a f est concave ==>f(z)+f(y)+f(x)=<3f((x+y+z)/3)
3f((x+y+z)/3)=3(x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<9/2
car (x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<3/2
==>2(x+y+z)=<3(x+y+z)-9xyz
==>9xyz=<x+y+z ce qui EST vrai (dsl c etait un peu trop tard))

qu'est ce qui vous arrive? toutes les solutions sont fausses!!!!!!!!!

selfrespect a écrit:

salut
on a S=1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)
S=f(x)+f(y)+f(z) telque f(x)=x/(x-a) et a =xyz
onn a f est concave ==>f(z)+f(y)+f(x)=<3f((x+y+z)/3)
3f((x+y+z)/3)=3(x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<9/2
car (x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<3/2
==>2(x+y+z)=<3(x+y+z)-9xyz
==>9xyz=<x+y+z ce qui EST vrai (dsl c etait un peu trop tard))

tu es sûr que f est concave!!!!!!!!!!!

Probléme n 66 de la semaine- solution de: Conan



On remarque que : 0 < (x,y,z) < 1



On a : x²+y² ≥ 2xy <=> 1-z² ≥ 2xy <=> 2/1+z² ≥ 1/1-xy



Et par symetrie on trouve: 2/1+x²≥ 1/1-yz et 2/1+y² ≥ 1/1-xz



Donc : A ≤ 2( 1/1+x² + 1/1+y² + 1/1+z² )



<=> A ≤ 2 ( 1/1+x² + (1+z²+1+y²)/(1+y²+z²+y²z²) )



<=> A ≤ 2 ( 1/1+x² + (3-x²)/( 2-x²+ (1-x²)²/4 )



On pose : x² = t <=> A ≤ 2( 3t+7) / (1+t)(3-t)



On pose : f(t) = 2( 3t+7) / (1+t)(3-t)


f(t) ≤ f(1/3) = 9/2



et disez moi ou est l'erreur?

8)

kimo a écrit:

selfrespect a écrit:

salut
on a S=1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)
S=f(x)+f(y)+f(z) telque f(x)=x/(x-a) et a =xyz
onn a f est concave ==>f(z)+f(y)+f(x)=<3f((x+y+z)/3)
3f((x+y+z)/3)=3(x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<9/2
car (x+y+z)/(x+y+z-3xyz)=<3/2
==>2(x+y+z)=<3(x+y+z)-9xyz
==>9xyz=<x+y+z ce qui EST vrai (dsl c etait un peu trop tard))

tu es sûr que f est concave!!!!!!!!!!!