problème N°66 de la semaine (29/01/2007-04/02/2007)

x²+y²=2T²
2T²+z²=1

Comme x²+y²+z²=1
Il ya autre facon tu px remarquer que 2x²+y²=<2

et encore tu as a la place de x un t

ce n'est pas la meme chose

et si c'est le cas demontre le!

Voici ma solution que je ne voulais postée ( il y a une autre mais il dépasse ....)
On a x,y,z>0 et x²+y²+z²=1 ==> 0<x,y,z<1 de même 0<xy,xz,yz<1. Donc
1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)
=(1+xy+x²y²+...)+(1+xz+x²z²+...)+(1+yz+y²z²+...)
=3+(xy+xz+yz)+(x²y²+x²z²+y²z²)+...
On vérifie que pour tout n>=1, Max[x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n / x²+y²+z²=1]=3^(1-n)
Alors 1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)=<3+1+1/3+1/3²+...=9/2

abdelbaki.attioui a écrit:

On vérifie que pour tout n>=1, Max[x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n / x²+y²+z²=1]=3^(1-n)

Ce n'est pas vrai!!

kimo a écrit:

abdelbaki.attioui a écrit:

On vérifie que pour tout n>=1, Max[x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n / x²+y²+z²=1]=3^(1-n)

Ce n'est pas vrai!!

Prouver le?

prends x=0 et y=z=1/rc(2)

kimo a écrit:

prends x=0 et y=z=1/rc(2)

Ce point est exlu! x,y,z>0

Lemme : pour tout n>=1 et qqs x,y,z>0 / x²+y²+z²=1 on a :
x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n = < 3^(1-n)

wéé c'ai vrai a condition x,y et z>0 et x²+y²+z²=1

cherif119 a écrit:

wéé c'ai vrai a condition x,y et z>0 et x²+y²+z²=1

il est est clair qu'on peut prendre x suffisamment proche de 0

kimo a écrit:

cherif119 a écrit:

wéé c'ai vrai a condition x,y et z>0 et x²+y²+z²=1

il est est clair qu'on peut prendre x suffisamment proche de 0

Etudier f(x,y,z) = x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n
sur {(x,y,z)/x,y,z>0 et x²+y²+z²=1}

pour n>=3 prendre a=0.5-3^((1/n)-1)>0
x=r(a), y =r(0.5-a/2) et z=r(0.5-a/2)
j'espère que c'est clair mnt

Bonjour ;
Abdelbaki je ne crois pas que ce soit vrai car dire que pour tout n>=1 et qqs x,y,z>0 / x²+y²+z²=1 on a :
x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n = < 3^(1-n) c'est dire que pour tout n>=1 et qqs x,y,z>0 / x²+y²+z²=1 on a :
(3xy)^n+(3xz)^n+(3yz)^n = < 3 ce qui est faux car il suffit par exemple de choisir x , y et z tels que xy > 1/3 pour que le terme (3xy)^n s'envole à l'infini avec n (prendre par exemple x=1/V2 , y=1/V3 et z=1/V6) (sauf erreur bien entendu)

C'est bon Kimo et Abdelali. Je me demande quel est alors le sup de
f_n(x,y,z) = x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n
sur {(x,y,z)/x,y,z>0 et x²+y²+z²=1} pour n>=1?

La deuxième solution que je voulais proposée utilise les coordonnées sphériques.
On pose x=sin(a)cos(b) , y=sin(a)sin(b) et z=cos(a) avec 0<a,b<pi/2
Et on a : b=arctan(y/x) et a=arccos(z)

Je n'est pas terminé le calcul, je pense que le problème deviendra plus simple puisque ceci nous méne à deux variables au lieu de trois.

pour n=1,2,3,4 la fonction extrema de Maple donne le max mais pour n=5 il faut une machine assez puissante pour voir le résultat rapidement sinon il faut attedre trop longtemp

pourquoi vous avez poser ses cordonnees ?? a quoi sert ?

[quote="abdelbaki.attioui"]Voici ma solution que je ne voulais postée ( il y a une autre mais il dépasse ....)
On a x,y,z>0 et x²+y²+z²=1 ==> 0

[quote="abdelbaki.attioui"]Voici ma solution que je ne voulais postée ( il y a une autre mais il dépasse ....)
On a x,y,z>0 et x²+y²+z²=1 ==>

Enfin une autre solution

On a

1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)
=(1+xy+x²y²+...)+(1+xz+x²z²+...)+(1+yz+y²z²+...)
=3+(xy+xz+yz)+(x²y²+x²z²+y²z²)+...

On vérifie que pour tout n>=2, x^ny^n+x^nz^n+y^nz^n =<2^(-n)
Et comme xy+xz+yz=<1

==> 1/(1-xy)+1/(1-xz)+1/(1-yz)=<3+1+1/2²+1/2^3+...=9/2

Je ne pense pas que pour x²+y²+z²=1 on ait x²y²+y²z²+z²x² =< 1/4
vu que pour x=y=z=1/V3 on a x²y²+y²z²+z²x² = 1/9+1/9+1/9 = 1/3 > 1/4 (sauf erreur)

Bonjour Abdelali
Je pense que pour x<y<z on a x²y²+y²z²+z²x² =< 1/4

Si je ne me trompe l'ensemble T = { (x,y,z) / x²+y²+z²=1 , 0<x<y<z } est un triangle sphérique (privé de ses arêtes)
de sommets (0,0,1) , (0,1/V2,1/V2) et P = (1/V3,1/V3,1/V3) et ainsi le point P est adhérent à T.
Si la fonction continue f : (x,y,z) ---> x²y²+y²z²+z²x² était majorée sur T par 1/4 elle le serait (par continuité) en P
ce qui n'est pas le cas vu que f(P)=1/3 > 1/4 (sauf erreur)