problème N°108 de la semaine (19/11/2007-25/11/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution postée
voici la solution de ThSQ
Une solution pas très satisfaisante car très algébrique et pas très arithmétique (et pas finie !), mais bon ....

Une seule solution trouvée (2,4,10,80)

Lemme 1 : a/(a-1) >= 2^¼ si a > 6
Lemme 2 : 2a/(2a-1) >= 1/2^(1/3) si a > 2
Lemme 3 : 2 < (32CD-1) / (3 (2C-1)(2D-1)) <= 4 si D > C >= 3



1 < a < b < c < d
P1 = abcd - 1
P2 = (a-1)(b-1)(c-1)(d-1)

* Le lemme 1 donne que 2P2 > P1 si a > 6 donc 1 < a <= 6

* Il est facile de voir que a,b,c,d doivent tous avoir la même parité

* a = 2, b,c,d pairs = 2B,2C,2D.
Le lemme 2 montre que 2P2 > P1 dès que B > 2 donc B=1 ou 2 et donc B=2 (b > a)
** B=2, D > C >= 3
Le lemme 3 donne 32CD-1 = 3*3(2C-1)(2D-1) (32CD-1 = 3*4(2C-1)(2D-1) impossible pour des raisons de parité)
ou encore 9(C+D) = 5 +2CD ou encore 1/C+1/D = 2/9 + 5/CD ou encore 2/9 <1/C+1/D <= 2/9 + 5/14
Ca donne C < 7.
On vérifie à la main : C = 5 et D=40 est la seule soluce.

* a = 3, b,c,d impairs
On refait pareil. Pas de solution.

* a = 4,5,6
Pas fini.

salut tout le monde;solution postée.
(solution non trouver )

Bonjour
Solution postée
voici la solution d"abdelbaki.attioui
Bonjour
On pose a=n-1, b=m-1, c=p-1 et d=r-1
==> 1=<a<b<c<d et (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=kabcd+1 avec k entier (k>=2).
==> k+1/abcd=(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)
==> k+1/abcd=<(1+1/a)(1+1/(a+1))(1+1/(a+2))(1+1/(a+3))= (a+4)/a
==> k<1+4/a=<5
==> 2=<k=<4

si 4>=k>=3 ==> 2<4/a ==> a=1. Donc k=3 car pgcd(k,a+1)=pgcd(k,2)=1 (Bezout)
==> 2(b+1)(c+1)(d+1)=3bcd+1
==> 3+1/bcd=2(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=<2(1+1/b)(1+1/(b+1))(1+1/(b+2))=2(b+3)/b
==> 3<2+6/b==> 2=a+1=<b=<5 , pgcd(3,b+1)=1 et pgcd(2,b)=1 ==> b=3
==> 8(c+1)(d+1)=9cd+1 ==> d(c-8 )=8c+7 et 9<8(1+1/c)(1+1/d)=<8(c+2)/c car c+1=<d
==> d(c-8 )=8c+7 , 8<c<16 , pgcd(9,c+1)=1 , pgcd(8,c)=1 et c-8 divise 8c+7
==> c=9 et d=(8c+7)/(c-8 )=79
==> (a,b,c,d)=(1,3,9,79)

si k=2 ==> a=<2 et pgcd(2,a+1)=1 ==> a=2
==> 3(b+1)(c+1)(d+1)=4bcd+1
==> 4+1/bcd=3(1+1/b)(1+1/c)(1+1/d)=<3(1+1/b)(1+1/(b+1))(1+1/(b+2))=3(b+3)/b
==> 4<3+9/b ==> 3=<b=<8 , pgcd(4,b+1)=1 et pgcd(4,b+1)=1==> b€{4,6,8}
si b=8 ==> 27(c+1)(d+1)=32cd+1
==> 27(c+1)(d+1)=32cd+1> 32cd
==> 32<27(1+1/c)(1+1/d)=<27(c+2)/c=27+54/c
==> 5<54/c ==> 9=b+1=<c =<10. Mais pgcd(3,c)=1 ==> c=10
==> 297(d+1)=320d+1 ==> 23d=296 pas de solution.
si b=6 ==> 21(c+1)(d+1)=24cd+1
==> 21(c+1)(d+1)=24cd+1> 24cd
==> 24<21(1+1/c)(1+1/d)=<21(c+2)/c=21+42/c
==> 3<42/c ==> 7=b+1=<c =<13. Mais pgcd(21,c)=1 et pgcd(24,c+1)=1 ==> c=10
==> 231(d+1)=240d+1 ==> 9d=230 pas de solution.
si b=4 ==> 15(c+1)(d+1)=16cd+1
==> d(c-15)=15c+14 et 15(c+1)(d+1)=16cd+1> 16cd
==> d(c-15)=15c+14 et 16<15(1+1/c)(1+1/d)=<15(c+2)/c=15+30/c
==> 1<30/c ==> 15<c =<29. Mais pgcd(15,c)=1 et pgcd(16,c+1)=1
==> c€{16,22,26,28} et c-15 divise 15c+14 ==> c=16 et d=(15c+14)/(c-15)=254
==> (a,b,c,d)=(2,4,16,254)
Donc (n,m,p,r)= (2,4,10,80) ou (3,5,17,255)
A+