Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Si x=y, l'inégalité devient (a(1-a))^x =< 1/2^(2x)
<==> a(1-a)=< 1/4 qqs a€[0,1] bien connue.
On suppose que x>y ( par symétrie des rôles)
Soit f(a)=a^x(1-a)^y+a^y(1-a)^x pour 0=<a=<1
On a : f(1-a)=f(a) qqs a dans [0,1]==> la droite a=1/2
est un axe de symétrie de la courbe de f, il suffit alors
de montrer l'inégalité pour a dans [0,1/2].
f>=0 sur [0,1/2] , f(0)=0 et f(1/2)=1/2^(x+y-1)
il suffit de montrer que f est croissante sur [0,1/2].
Pour 0<a<1/2 on a :
f'(a)=xa^(x-1).(1-a)^y-ya^x.(1-a)^(y-1)+ya^(y-1).(1-a)^x-xa^y.(1-a)^(x-1)
On pose 1-a=at <==> a=1/(1+t) et t>1
==> f'(a)=xa^(x+y-1).t^y-ya^(x+y-1).t^(y-1)+ya^(x+y-1).t^x-xa^(x+y-1).t^(x-1)
==> le signe de f' sur ]0,1/2[ est celui de g(t)=y.t^(x-y+1)-x.t^(x-y)+x.t-y sur ]1,+00[
==> g'(t)=y(x-y+1)t^(x-y)-x(x-y)t^(x-y-1)+x
==> g"(t)=y(x-y+1)(x-y)t^(x-y-1)-x(x-y)(x-y-1)t^(x-y-2)
==> g"(t)=(x-y)t^(x-y-2)(y(x-y+1)t-x(x-y-1))
==> g"(t)=(x-y)t^(x-y-2)(y(x-y+1)(t-1)+x+y-(x-y)²) >=0
==> g' croissante mais g'(1)=y(x-y+1)-x(x-y)+x=2xy-y²-x²+x+y=x+y-(x-y)²>=0
==> g croissante et g(1)=0 ==> g>0 sur ]1,+00[
==> f est strictement croissante sur [0,1/2] d'où l'inégalité et il y a égalité ssi a=1/2
A+
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